Questão 12:

Considere o campo vetorial
F=\left(-2 y-\frac{x}{x^{2}+9 y^{2}}, 2 x-\frac{9 y}{x^{2}+9 y^{2}}\right)
e C o arco de parábola y=1-\frac{x^{2}}{9} do ponto (3,0) até o ponto (0,1), situano no primeiro quadrado e orientado no sentido de crescimento de y. Calcule \int_{C} F \cdot d s.
Resposta: 8

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=\left(-2y-\frac{x}{x^{2}+9y^{2}},\;2x-\frac{9y}{x^{2}+9y^{2}}\right)
e a curva C é o arco da parábola
y=1-\frac{x^{2}}{9}
do ponto (3,0) até o ponto (0,1), localizado no primeiro quadrante, com orientação no sentido de crescimento de y (ou seja, do ponto (3,0) para (0,1)). O objetivo é calcular a integral de linha
\int_{C} F\cdot d s.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva C é um arco (não fechada) da parábola y=1-\dfrac{x^{2}}{9} entre (3,0) e (0,1).
  • O campo F tem termos racionais com denominador x^{2}+9y^{2}; isso é singular apenas em (0,0).
  • A curva está inteiramente no primeiro quadrante e portanto não passa por (0,0).

Passo 2

Raciocínio sobre o método a usar (explicação didática):
  • Uma técnica útil quando o campo não é trivial é fechar a curva com um caminho simples e aplicar o Teorema de Green (versão planar do Teorema de Kelvin–Stokes) para transformar uma integral de linha fechada em uma integral dupla do rotacional.
  • O Teorema de Green diz, para uma região plana R com fronteira orientada positivamente,
\oint_{\partial R} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA,
onde F=(P,Q).
  • Aqui a ideia será: formar um laço fechado tomando C (o arco da parábola, de (3,0) a (0,1)) mais o segmento de reta S que vai de (0,1) de volta a (3,0). Assim \partial R = C\cup S. Aplicaremos Green sobre a região R entre a parábola e a reta, depois achar \int_{C}F\cdot ds subtraindo a contribuição do segmento S.
  • Antes de usar Green, precisamos verificar que F é suave na região R. O denominador x^{2}+9y^{2} só é zero em (0,0), que não pertence à região entre a parábola e a reta (essa região fica acima do eixo x e à direita do eixo y, enquanto (0,0) está fora). Logo Green é aplicável.

Passo 3

Calcular o rotacional (explicando passo a passo):
  • Denotando P(x,y)=-2y-\dfrac{x}{x^{2}+9y^{2}} e Q(x,y)=2x-\dfrac{9y}{x^{2}+9y^{2}}, computa-se as derivadas parciais.
  • Primeiro calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}.
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(-2y\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{x}{x^{2}+9y^{2}}\right) = -2 + 18\frac{x y}{(x^{2}+9y^{2})^{2}}.
(Detalhe: usou-se a regra da cadeia para \partial_y\big(1/(x^{2}+9y^{2})\big).)
  • Agora \dfrac{\partial Q}{\partial x}.
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2x\right) + \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{9y}{x^{2}+9y^{2}}\right) = 2 + 18\frac{x y}{(x^{2}+9y^{2})^{2}}.
  • Assim o rotacional (a quantidade dentro da integral dupla de Green) é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \left(2 + 18\frac{x y}{(x^{2}+9y^{2})^{2}}\right) - \left(-2 + 18\frac{x y}{(x^{2}+9y^{2})^{2}}\right) = 4.
  • Conclusão: o rotacional é constante \;4 na região considerada. Isso facilita muito a integral dupla.

Passo 4

Aplicar Green fechando a curva e calcular a integral dupla (área):
  • Seja S o segmento de reta que liga (0,1) a (3,0). Considere a curva fechada \partial R formada por C (parábola, de (3,0) a (0,1)) seguida de S (reta, de (0,1) a (3,0)). Esta orientação é a orientação positiva ao redor da região R entre parábola e reta.
  • Pelo Teorema de Green,
\oint_{\partial R} F\cdot ds = \iint_{R} 4\, dA = 4\cdot \text{Area}(R).
  • Vamos calcular \text{Area}(R). A reta entre (3,0) e (0,1) tem equação (resolver rampa):
y=1-\frac{x}{3}.
  • A área entre a parábola y_{\text{par}}=1-\dfrac{x^{2}}{9} (acima) e a reta y_{\text{ret}}=1-\dfrac{x}{3} (abaixo) para x entre 0 e 3 é
\text{Area}(R)=\int_{0}^{3} \left(y_{\text{par}}-y_{\text{ret}}\right)\,dx =\int_{0}^{3}\left(1-\frac{x^{2}}{9}-\Big(1-\frac{x}{3}\Big)\right)dx =\int_{0}^{3}\left(\frac{x}{3}-\frac{x^{2}}{9}\right)dx.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{3}\frac{x}{3}\,dx=\left.\frac{x^{2}}{6}\right|_{0}^{3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}, \qquad \int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{9}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{27}\right|_{0}^{3}=1.
Portanto
\text{Area}(R)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.
  • Assim
\oint_{\partial R} F\cdot ds = 4\cdot \frac{1}{2}=2.

Passo 5

Relacionar a integral fechada com as integrais ao longo de C e S:
  • Pela construção da fronteira \partial R,
\oint_{\partial R} F\cdot ds = \int_{C} F\cdot ds + \int_{S} F\cdot ds.
  • Já sabemos \oint_{\partial R} F\cdot ds = 2. Então
\int_{C} F\cdot ds = 2 - \int_{S} F\cdot ds.
  • Resta calcular a integral ao longo do segmento S (de (0,1) para (3,0)).

Passo 6

Parametrizar o segmento S e calcular \int_{S} F\cdot ds detalhadamente:
  • Parametrização simples: tomar t para representar x no segmento, com
x=t,\qquad y=1-\frac{t}{3},\qquad 0\le t\le 3.
Então dx=dt e dy=-\dfrac{1}{3}dt.
  • A integral de linha é
\int_{S} P\,dx + Q\,dy = \int_{0}^{3} \Big(P(t,y(t)) + Q(t,y(t))\cdot y'(t)\Big) dt.
  • Calcule as peças: para y=1-\dfrac{t}{3} o denominador D do campo é
D(t)=t^{2}+9\Big(1-\frac{t}{3}\Big)^{2}=2t^{2}-6t+9.
  • As componentes do campo avaliadas na parametrização são
P=-2y-\frac{t}{D}=-2\Big(1-\frac{t}{3}\Big)-\frac{t}{D}=-2+\frac{2t}{3}-\frac{t}{D},
Q=2t-\frac{9y}{D}=2t-\frac{9\big(1-\frac{t}{3}\big)}{D}=2t-\frac{9-3t}{D}.
  • Com y'=-\dfrac{1}{3}, obtemos o integrando
P+Qy'=\left(-2+\frac{2t}{3}-\frac{t}{D}\right)-\frac{1}{3}\left(2t-\frac{9-3t}{D}\right) =-2 + \frac{3-2t}{D}.
(Detalhe do cálculo algébrico: os termos \dfrac{2t}{3} e -\dfrac{1}{3}\cdot 2t se cancelam.)
  • Portanto
\int_{S} F\cdot ds = \int_{0}^{3}\left(-2 + \frac{3-2t}{2t^{2}-6t+9}\right)dt.
  • Separe em duas integrais:
\int_{0}^{3}-2\,dt = -6,
e
\int_{0}^{3}\frac{3-2t}{2t^{2}-6t+9}\,dt.
  • Note que o denominador é D(t)=2t^{2}-6t+9 e sua derivada é D'(t)=4t-6=2(2t-3). O numerador 3-2t é proporcional a D'(t):
3-2t = -\tfrac{1}{2}(4t-6) = -\tfrac{1}{2} D'(t).
Assim a integral racional é uma integral do tipo -\tfrac{1}{2}\int D'(t)/D(t)\,dt, que é fácil:
\int_{0}^{3}\frac{3-2t}{D(t)}\,dt = -\frac{1}{2}\int_{0}^{3}\frac{D'(t)}{D(t)}\,dt = -\frac{1}{2}\left.\ln\big(D(t)\big)\right|_{0}^{3}.
  • Calcule D(3) e D(0):
D(3)=2\cdot 9 -6\cdot 3 +9 =18-18+9=9,\qquad D(0)=9.
Logo
\left.\ln D(t)\right|_{0}^{3}=\ln 9 - \ln 9 =0,
e a integral racional é 0.
  • Conclui-se que
\int_{S} F\cdot ds = -6 + 0 = -6.

Passo 7

Concluir a integral sobre C:
  • Usando \oint_{\partial R} F\cdot ds =2 e \int_{S}F\cdot ds = -6, obtemos
\int_{C} F\cdot ds = 2 - \int_{S}F\cdot ds = 2 - (-6) = 8.
  • Portanto o valor pedido é 8.

Resposta

8

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