e C o arco de parábola y=1-\frac{x^{2}}{9} do ponto (3,0) até o ponto (0,1), situano no primeiro quadrado e orientado no sentido de crescimento de y. Calcule \int_{C} F \cdot d s.
Resposta: 8
do ponto (3,0) até o ponto (0,1), localizado no primeiro quadrante, com orientação no sentido de crescimento de y (ou seja, do ponto (3,0) para (0,1)). O objetivo é calcular a integral de linha
\int_{C} F\cdot d s.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A curva C é um arco (não fechada) da parábola y=1-\dfrac{x^{2}}{9} entre (3,0) e (0,1).
O campo F tem termos racionais com denominador x^{2}+9y^{2}; isso é singular apenas em (0,0).
A curva está inteiramente no primeiro quadrante e portanto não passa por (0,0).
Passo 2
Raciocínio sobre o método a usar (explicação didática):
Uma técnica útil quando o campo não é trivial é fechar a curva com um caminho simples e aplicar o Teorema de Green (versão planar do Teorema de Kelvin–Stokes) para transformar uma integral de linha fechada em uma integral dupla do rotacional.
O Teorema de Green diz, para uma região plana R com fronteira orientada positivamente,
Aqui a ideia será: formar um laço fechado tomando C (o arco da parábola, de (3,0) a (0,1)) mais o segmento de reta S que vai de (0,1) de volta a (3,0). Assim \partial R = C\cup S. Aplicaremos Green sobre a região R entre a parábola e a reta, depois achar \int_{C}F\cdot ds subtraindo a contribuição do segmento S.
Antes de usar Green, precisamos verificar que F é suave na região R. O denominador x^{2}+9y^{2} só é zero em (0,0), que não pertence à região entre a parábola e a reta (essa região fica acima do eixo x e à direita do eixo y, enquanto (0,0) está fora). Logo Green é aplicável.
Passo 3
Calcular o rotacional (explicando passo a passo):
Denotando P(x,y)=-2y-\dfrac{x}{x^{2}+9y^{2}} e Q(x,y)=2x-\dfrac{9y}{x^{2}+9y^{2}}, computa-se as derivadas parciais.
Conclusão: o rotacional é constante \;4 na região considerada. Isso facilita muito a integral dupla.
Passo 4
Aplicar Green fechando a curva e calcular a integral dupla (área):
Seja S o segmento de reta que liga (0,1) a (3,0). Considere a curva fechada \partial R formada por C (parábola, de (3,0) a (0,1)) seguida de S (reta, de (0,1) a (3,0)). Esta orientação é a orientação positiva ao redor da região R entre parábola e reta.