O módulo da aceleração de um ponto de uma roda que está girando é multiplicado por 4, quando o módulo da velocidade angular e o módulo da aceleração angular são multiplicados por 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos uma roda girando e um ponto nela sofre dois tipos de aceleração:
  1. aceleração tangencial ( ), que vem da aceleração angular ;
  2. aceleração normal ou centrípeta ( ), que vem da velocidade angular .
O que a questão pergunta (implicita) é: quando dobramos e dobramos , por qual fator o módulo da aceleração total do ponto é multiplicado?
Matéria: Cinemática de rotação.
O que precisamos:
  • Fórmulas de e em função de , e do raio ;
  • Combinar essas componentes para achar o módulo da aceleração total.

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas básicas:
at = alpha,r(ace<=ração tan>=ncial)çã
an = omega^2,r(ace<=ração normal)çã
A aceleração total é o vetor soma dessas duas componentes, que são perpendiculares, então o módulo é
a ;=;raiz,at^2 + an^2, ;=;raiz,(alpha r)^2 + (omega^2 r)^2, ;=;r,raizalpha^2 + omega^4,

Passo 3

Agora vamos ao “experimento mental”:
– Inicialmente at' = alpha',r = (2alpha),r = 2,alpha,r, an' = (omega')^2 r = (2omega)^2,r = 4,omega^2,r e a' ;=; raiz(at')^2 + (an')^2 ;=; raiz(2alpha r)^2 + (4omega^2 r)^2 ;=; r ,raiz4alpha^2 + 16,omega^4 ;=; r,raiz4,( alpha^2 + 4omega^4 ) ;=; 2,r,raizalpha^2 + 4,omega^4, têm certos valores;
– Depois fazemos e .
Com isso, as novas componentes viram:
Então o novo módulo da aceleração é

Passo 4

O fator de multiplicação k = a'a = 2,r,raizalpha^2 + 4,omega^4r,raizalpha^2 + omega^4 = 2,raizalpha^2 + 4,omega^4alpha^2 + omega^4 entre a aceleração nova e a antiga é
Esse é o fator geral. Perceba que só dá exatamente se
,
o que não acontece pra qualquer e .

Resposta

O módulo da aceleração total passa a ser multiplicado por
boxed,2,raizalpha^2 + 4,omega^4alpha^2 + omega^4,
Ou seja, não é em geral 4, mas esse valor acima.

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