Qual é o módulo do campo elétrico no ponto P de coordenadas x=3,7 \mathrm{~m}, y=2,6 \mathrm{me} z=3,5 \mathrm{~m}, se o potencial elétrico na região é dado por V=2,3 x y z^{2} ? Considere que V está em volts e as coordenadas (bem como x, y, z na fórmula do potencial) estão em metros.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico em volts no formato abaixo:
V = 2,3\,x\,y\,z^2
e pede o módulo do campo elétrico no ponto P de coordenadas x=3,7, y=2,6 e z=3,5 (em metros). Pela teoria do eletromagnetismo, o campo elétrico é dado por
\mathbf{E} = -\nabla V.
Então o plano é achar as derivadas parciais de V, montar \mathbf{E} e calcular seu módulo.

Passo 2

Calculamos a derivada de V em relação a x e obtemos a componente E_x:
\frac{\partial V}{\partial x} = 2,3\,y\,z^2
E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\,2,3\,y\,z^2
No ponto P isso vale
E_x(P) = -\,2,3 \times 2,6 \times (3,5)^2 = -\,2,3 \times 2,6 \times 12,25 = -\,73,255\;\mathrm{V/m}.

Passo 3

Agora a derivada em relação a y e a componente E_y:
\frac{\partial V}{\partial y} = 2,3\,x\,z^2
E_y = -2,3\,x\,z^2
No ponto P:
E_y(P) = -\,2,3 \times 3,7 \times 12,25 = -\,104,2475\;\mathrm{V/m}.

Passo 4

Por fim a derivada em relação a z e a componente E_z:
\frac{\partial V}{\partial z} = 2,3\,x\,y\,2z = 4,6\,x\,y\,z
E_z = -4,6\,x\,y\,z
No ponto P:
E_z(P) = -\,4,6 \times 3,7 \times 2,6 \times 3,5 = -\,154,882\;\mathrm{V/m}.

Passo 5

O módulo do campo é
|\mathbf{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2}
Substituindo os valores calculados:
|\mathbf{E}| = \sqrt{(-73,255)^2 + (-104,2475)^2 + (-154,882)^2} \approx 200,6\;\mathrm{V/m}.

Resposta

\displaystyle |\mathbf{E}|\approx 200,6\;\mathrm{V/m}.

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