Na reação d+d \rightarrow p+t, cujo fator Q é de 4 MeV (Seç. 9.7), tem-se um feixe de d de 3 MeV incidente sobre um alvo contendo d em repouso. Tome as massas como sendo m_{p}=1 u.m.a.(unidade de massa atômica), m_{d}=2 u.m.a. e m_{t}=3 u.m.a… (a) Qual é a energia (em MeV ) dos emergentes a 45^{\circ} da direção de incidência? (b) Qual é a energia dos tassociados a esses p ? (c) Em que direção emergem estes t, relativamente à direção de incidência?

Passo 1

O enunciado trata da reação \mathrm{d}+\mathrm{d}\to p+t com Q=4 MeV, em que um deutério de energia cinética T_1=3 MeV incide sobre um deutério em repouso. As massas são m_p=1, m_d=2 e m_t=3 (u). Vamos usar cinemática de colisão bidimensional não relativística, achando primeiro as energias no centro de massa (CM) e depois transformando para o referencial de laboratório (lab).

Passo 2

Calculemos a energia disponível no CM antes da reação e a distribuída depois com o Q-valor:
E_{\rm cm}=\frac{m_d}{m_d+m_d}\,T_1 =\frac{2}{2+2}\cdot3=1,5\\ \text{MeV},
E_{\rm cm}^{\rm tot}=E_{\rm cm}+Q=1,5+4=5,5\\ \text{MeV}.
No CM as energias cinéticas dos produtos são
E_p^* = E_{\rm cm}^{\rm tot}\,\frac{m_t}{m_p+m_t} =5,5\cdot\frac{3}{1+3}=4,125\\ \text{MeV},
E_t^* = E_{\rm cm}^{\rm tot}\,\frac{m_p}{m_p+m_t} =5,5\cdot\frac{1}{4}=1,375\\ \text{MeV}.

Passo 3

Calculamos agora as velocidades no CM e no laboratório:
v_{\rm cm}=\frac{m_d}{m_d+m_d}\,v_1 =\frac{1}{2}\,v_1,\quad v_1=\sqrt{\frac{2T_1}{m_d}}=\sqrt{\frac{2\cdot3}{2}}=\sqrt{3}=1{,}732,
v_{\rm cm}=0{,}866,\quad v_p^*=\frac{p^*}{m_p}=\sqrt{\frac{2m_pE_p^*}{m_p^2}} =\sqrt{2\cdot4,125}=2{,}872.
No laboratório a relação entre o ângulo CM \theta^* e o ângulo lab \theta_{\rm lab} é
\tan\theta_{\rm lab} =\frac{v^*\sin\theta^*}{v_{\rm cm}+v^*\cos\theta^*}.
Para desejar \theta_{\rm lab}=45^\circ (prótons emergindo a 45^\circ), impomos
1=\frac{v_p^*\sin\theta_p^*}{v_{\rm cm}+v_p^*\cos\theta_p^*} \;\Longrightarrow\; \sin\theta_p^*-\cos\theta_p^*=\frac{v_{\rm cm}}{v_p^*} \approx0{,}3015.
Usando \sin\theta_p^*-\cos\theta_p^*=\sqrt2\sin(\theta_p^*-45^\circ), obtemos
\theta_p^*\approx57{,}3^\circ.

Passo 4

A energia do próton no lab é
T_{p,\rm lab} =E_p^*+\frac12\,m_p\,v_{\rm cm}^2 +m_p\,v_{\rm cm}\,v_p^*\cos\theta_p^*,
\frac12\,m_p\,v_{\rm cm}^2=0{,}375\\ \text{MeV},\quad m_p\,v_{\rm cm}\,v_p^*=2{,}49\\ \text{MeV},\quad \cos57{,}3^\circ=0{,}540,
T_{p,\rm lab}=4,125+0,375+2,49\cdot0,540\approx5,85\\ \text{MeV}.

Passo 5

Para o trítio, no CM \theta_t^*=180^\circ-\theta_p^*=122{,}7^\circ,
v_t^*=\frac{p^*}{m_t}=\frac{2{,}872}{3}=0{,}957,\quad \frac12m_t v_{\rm cm}^2=1,125\\ \text{MeV},\quad m_tv_{\rm cm}v_t^*=2,488\\ \text{MeV},
T_{t,\rm lab} =E_t^*+\frac12m_tv_{\rm cm}^2 +m_tv_{\rm cm}v_t^*\cos\theta_t^* =1,375+1,125+2,488\cdot(-0,540) \approx1,16\\ \text{MeV}.
Seu ângulo no lab é
\tan\theta_{t,\rm lab} =\frac{v_t^*\sin\theta_t^*}{v_{\rm cm}+v_t^*\cos\theta_t^*} =\frac{0,957\cdot0,840}{0,866-0,517}\approx2,30 \;\Longrightarrow\;\theta_{t,\rm lab}\approx66{,}3^\circ.

Resposta

(a) T_{p,\rm lab}\approx5,85 MeV
(b) T_{t,\rm lab}\approx1,16 MeV
(c) \theta_{t,\rm lab}\approx66,3^\circ

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