Suponha que os grãos de poeira nos anéis de Saturno são esféricos, com um raio R=0,7 \times 10^{-6} \mathrm{~m}. Se um grão coleta N=N_{0} \times 10^{5} elétrons para adquirir um potencial de -378 V na sua superfície, determine o valor de N_{0}. (Tome V=0 no infinito.)
(a) 10,22
(b) 7,05
(c) 1,84
(d) 4,00
(e) 8,81
(f) 5,33

Passo 1

O enunciado diz que um grão esférico de poeira, com raio R=0,7\times10^{-6}\,\mathrm{m}, adquire potencial -378\,\mathrm{V} em sua superfície ao coletar N=N_0\times10^5 elétrons. Queremos encontrar N_0. O conteúdo a usar é o potencial de uma esfera carregada isoladamente, tomado zero no infinito.

Passo 2

Para uma esfera de carga Q, o potencial em sua superfície é
V(R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,R},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Aqui Q=-N\,e, com e carga elementar.

Passo 3

Substituindo Q=-N\,e em V(R) e usando \,V(R)=-378\,\mathrm{V}, obtemos
-378 = \frac{-N\,e}{4\pi\varepsilon_0\,R} \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{4\pi\varepsilon_0\,R\,(378)}{e}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos: \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}, R=0{,}7\times10^{-6}\,\mathrm{m}, e=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}.
Calculando,
N \approx \frac{4\pi \times 8{,}854\times10^{-12}\times0{,}7\times10^{-6}\times378} {1{,}602\times10^{-19}} \approx 1{,}84\times10^{5}.

Passo 5

Como N=N_0\times10^5, temos N_0\approx1{,}84.

Resposta

(c) 1,84

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