O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico com 2,00 mm de raio é dado por J(r) = Br, onde r é a distância do centro do fio em metros e B=200 times 10^3 A/m^2. Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, cujo raio interno é R0 = 0,900R e cujo raio externo é R?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio cilíndrico com raio de 2,00 mm, ou seja, $ R = 2{,}00 \times 10^{-3} $ metros. A densidade de corrente nesse fio é dada por $ J® = Br $, onde $ B = 200 \times 10^{3} , \mathrm{A/m^{2}} $ e $ r $ é a distância do centro do fio. Nosso objetivo é encontrar a corrente que passa por um anel concêntrico com raio interno $ R_{0} = 0{,}900R $ e raio externo $ R $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade de corrente $ J® $. Ela nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do fio. Como $ J $ depende de $ r $, a corrente não é distribuída de forma uniforme, mas aumenta com a distância do centro.

Passo 3

Para encontrar a corrente total que passa pelo anel, precisamos integrar a densidade de corrente sobre a área desse anel. A fórmula para a corrente total $ I $ é:
I
Onde $ dA $ é um elemento de área no anel.

Passo 4

Como estamos lidando com um anel circular, é mais fácil usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, um elemento de área $ dA $ é dado por:
dA
Isso porque, para cada pequeno aumento em $ r $, a área adicionada é a circunferência $ 2\pi r $ vezes a pequena espessura $ dr $.

Passo 5

Substituindo $ J® $ e $ dA $ na integral, temos:
J(r)
Aqui, colocamos os limites de integração de $ R_{0} $ a $ R $ porque estamos calculando a corrente apenas no anel específico.

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral $ \int r^{2} , dr $:
integral r^2 , dr
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 7

Aplicando os limites de integração, temos:
I = 2pi B [ R^33 - R0^33 ] = 2pi B3 ( R^3 - R0^3 )

Passo 8

Sabemos que $ R_{0} = 0{,}900R $. Vamos substituir isso na expressão:
R0 = 0,900R
Calculando $ 0{,}900^{3} $:
I = 2pi B3 ( R^3 - (0,900R)^3 ) = 2pi B3 R^3 ( 1 - 0,900^3 )
Então:
0,900^3

Passo 9

Agora, substituímos os valores numéricos. Sabemos que $ B = 200 \times 10^{3} , \mathrm{A/m^{2}} $ e $ R = 2{,}00 \times 10^{-3} , \mathrm{m} $:
B = 200 times 10^3 , A/m^2
Calculando $ (2{,}00 \times 10{-3}){3} $:
R = 2,00 times 10^-3 , m
Substituindo de volta:
I = 2pi times 200 times 10^33 times (2,00 times 10^-3)^3 times 0,271

Passo 10

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, multiplicamos os fatores numéricos:
2 times 200 times 8,00 times 0,271 = 2 times 200 = 400 400 times 8,00 = 3200 3200 times 0,271 = 867,2
Agora, juntamos com as potências de 10:
867,2 times pi times 10^3 times 10^-93 = 867,2 times pi times 10^-63
Calculando:
867,23 approx 289,07
Então:
I approx 289,07 times pi times 10^-6 , A
Calculando $ 289{,}07 \times \pi $:
289,07 times pi
Então:
289,07 times 3,1416 approx 907,9

Resposta

A corrente que passa no anel é aproximadamente $ 9{,}08 \times 10^{-4} , \mathrm{A} $.

Exercícios relacionados