O módulo
da densidade de corrente em um fio cilíndrico com 2,00 mm de raio é dado por
, onde
é a distância do centro do fio em metros e
. Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, cujo raio interno é
e cujo raio externo é
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio cilíndrico com raio de 2,00 mm, ou seja, $ R = 2{,}00 \times 10^{-3} $ metros. A densidade de corrente nesse fio é dada por $ J® = Br $, onde $ B = 200 \times 10^{3} , \mathrm{A/m^{2}} $ e $ r $ é a distância do centro do fio. Nosso objetivo é encontrar a corrente que passa por um anel concêntrico com raio interno $ R_{0} = 0{,}900R $ e raio externo $ R $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é densidade de corrente $ J® $. Ela nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do fio. Como $ J $ depende de $ r $, a corrente não é distribuída de forma uniforme, mas aumenta com a distância do centro.
Passo 3
Para encontrar a corrente total que passa pelo anel, precisamos integrar a densidade de corrente sobre a área desse anel. A fórmula para a corrente total $ I $ é:
Onde $ dA $ é um elemento de área no anel.
Passo 4
Como estamos lidando com um anel circular, é mais fácil usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, um elemento de área $ dA $ é dado por:
Isso porque, para cada pequeno aumento em $ r $, a área adicionada é a circunferência $ 2\pi r $ vezes a pequena espessura $ dr $.
Passo 5
Substituindo $ J® $ e $ dA $ na integral, temos:
Aqui, colocamos os limites de integração de $ R_{0} $ a $ R $ porque estamos calculando a corrente apenas no anel específico.
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral $ \int r^{2} , dr $:
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 7
Aplicando os limites de integração, temos:
Passo 8
Sabemos que $ R_{0} = 0{,}900R $. Vamos substituir isso na expressão:
Calculando $ 0{,}900^{3} $:
Então:
Passo 9
Agora, substituímos os valores numéricos. Sabemos que $ B = 200 \times 10^{3} , \mathrm{A/m^{2}} $ e $ R = 2{,}00 \times 10^{-3} , \mathrm{m} $:
Calculando $ (2{,}00 \times 10{-3}){3} $:
Substituindo de volta:
Passo 10
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, multiplicamos os fatores numéricos:
Agora, juntamos com as potências de 10:
Calculando:
Então:
Calculando $ 289{,}07 \times \pi $:
Então:
Resposta
A corrente que passa no anel é aproximadamente $ 9{,}08 \times 10^{-4} , \mathrm{A} $.