-2 O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R=2,00 \mathrm{~mm} é dado por J= \left(3,00 \times 10^{8}\right) r^{2}, com J em ampères por metro quadrado e a distância radial r em metros. Qual é a corrente que passa em um anel, concêntrico com o fio, cujo raio interno é 0,900 R e cujo raio externo é R ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • A densidade de corrente em módulo é \;J = \left(3,00 \times 10^{8}\right) r^{2}\; com J em ampères por metro quadrado e r em metros.
  • O raio do fio é \;R = 2,00\\ \text{mm} = 2{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\;.
  • O anel (região) considerado é concêntrico ao fio, com raio interno \;r_{\text{int}} = 0{,}900\,R\; e raio externo \;r_{\text{ext}} = R\;.
  • Pergunta: qual é a corrente total que passa nesse anel (isto é, a corrente atravessando a seção do anel entre r_{\text{int}} e r_{\text{ext}})?

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática): a corrente elétrica total que atravessa uma área A é a integral da densidade de corrente sobre essa área:
I=\iint_{A} \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}.
Aqui temos simetria cilíndrica e J é radialmente simétrica (depende só de r), então podemos tratar a integral escalar sobre a área da seção transversal do fio. Para um anel fino entre r e r+dr, a área desse anel vale aproximadamente a circunferência vezes a espessura:
dA = 2\pi r\,dr.
Isso vem da ideia de que a área do anel é a diferença entre duas circunferências de raios próximos; é uma aproximação exata no limite diferencial e é a maneira padrão de integrar em coordenadas polares/cilíndricas.

Passo 3

Montando a integral para a corrente do anel: como J é a intensidade (magnitude) da densidade de corrente perpendicular à seção, a corrente é
I=\int_{r_{\text{int}}}^{r_{\text{ext}}} J(r)\,dA
e usando dA=2\pi r\,dr e J(r)=\left(3{,}00\times10^{8}\right)r^{2} obtemos
I=\int_{r_{\text{int}}}^{r_{\text{ext}}} \left(3{,}00\times10^{8}\right) r^{2}\cdot 2\pi r\,dr.

Passo 4

Simplificando o integrando:
I = 2\pi\left(3{,}00\times10^{8}\right)\int_{r_{\text{int}}}^{r_{\text{ext}}} r^{3}\,dr.
Sabendo que \displaystyle\int r^{3}\,dr=\frac{r^{4}}{4}, temos
I = 2\pi\left(3{,}00\times10^{8}\right)\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{r_{\text{int}}}^{r_{\text{ext}}}.
Podemos simplificar o fator constante:
2\pi\left(3{,}00\times10^{8}\right)\frac{1}{4} = \left( \frac{2}{4}\cdot 3{,}00\times10^{8}\right)\pi = \left(1{,}50\times10^{8}\right)\pi.
Logo
I = \left(1{,}50\times10^{8}\right)\pi\left(r_{\text{ext}}^{4}-r_{\text{int}}^{4}\right).

Passo 5

Calculemos os raios numéricos em metros:
r_{\text{ext}} = R = 2{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
r_{\text{int}} = 0{,}900\,R = 0{,}900\times 2{,}00\times10^{-3} = 1{,}80\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calculemos as potências quarta:
r_{\text{ext}}^{4} = \left(2{,}00\times10^{-3}\right)^{4} = 16{,}00\times10^{-12} = 1{,}600\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{4}}.
r_{\text{int}}^{4} = \left(1{,}80\times10^{-3}\right)^{4} = 10{,}4976\times10^{-12} = 1{,}04976\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{4}}.
Diferença:
r_{\text{ext}}^{4}-r_{\text{int}}^{4} = 1{,}600\times10^{-11} - 1{,}04976\times10^{-11} = 0{,}55024\times10^{-11} = 5{,}5024\times10^{-12}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 7

Agora multiplicamos pelo fator constante:
I = \left(1{,}50\times10^{8}\right)\pi\left(5{,}5024\times10^{-12}\right).
Primeiro calcule o produto dos fatores sem \pi:
1{,}50\times10^{8}\times 5{,}5024\times10^{-12} = 8{,}2536\times10^{-4}.
Multiplicando por \pi:
I = 8{,}2536\times10^{-4}\times\pi \approx 2{,}59235\times10^{-3}\\ \mathrm{A}.
Arredondando com três algarismos significativos (coerente com os dados), obtemos
I \approx 2{,}59\times10^{-3}\\ \mathrm{A} = 2{,}59\\ \mathrm{mA}.

Resposta

I = 2{,}59\times10^{-3}\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados