-2 O módulo
da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio
é dado por
, com
em ampères por metro quadrado e a distância radial
em metros. Qual é a corrente que passa em um anel, concêntrico com o fio, cujo raio interno é
e cujo raio externo é
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- A densidade de corrente em módulo é
com em ampères por metro quadrado e em metros. - O raio do fio é
. - O anel (região) considerado é concêntrico ao fio, com raio interno
e raio externo . - Pergunta: qual é a corrente total que passa nesse anel (isto é, a corrente atravessando a seção do anel entre
e )?
Passo 2
Conceito necessário (explicação didática): a corrente elétrica total que atravessa uma área
é a integral da densidade de corrente sobre essa área:
Aqui temos simetria cilíndrica e
é radialmente simétrica (depende só de
), então podemos tratar a integral escalar sobre a área da seção transversal do fio. Para um anel fino entre
e
, a área desse anel vale aproximadamente a circunferência vezes a espessura:
Isso vem da ideia de que a área do anel é a diferença entre duas circunferências de raios próximos; é uma aproximação exata no limite diferencial e é a maneira padrão de integrar em coordenadas polares/cilíndricas.
Passo 3
Montando a integral para a corrente do anel: como
é a intensidade (magnitude) da densidade de corrente perpendicular à seção, a corrente é
e usando
e
obtemos
Passo 4
Simplificando o integrando:
Sabendo que
, temos
Podemos simplificar o fator constante:
Logo
Passo 5
Calculemos os raios numéricos em metros:
Passo 6
Calculemos as potências quarta:
Diferença:
Passo 7
Agora multiplicamos pelo fator constante:
Primeiro calcule o produto dos fatores sem
:
Multiplicando por
:
Arredondando com três algarismos significativos (coerente com os dados), obtemos