O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R=2,0 mm é dado por J=(3.10^4 r^2), com J em ampères por metro quadrado e a distância radial r em metros.
a) Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, cujo raio interno é 0,8R e cujo raio externo é R?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a densidade de corrente $ J $ em um fio cilíndrico com raio $ R = 2,0 $ mm. A densidade de corrente é dada por $ J = 3 \times 10^{4} , r^{2} $, onde $ r $ é a distância radial em metros. Nosso objetivo é encontrar a corrente que passa por um anel concêntrico com esse fio, com raio interno $ 0,8R $ e raio externo $ R $. Para isso, vamos usar conceitos de integração em áreas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a corrente $ I $ que passa por uma área específica é obtida integrando a densidade de corrente $ J $ sobre essa área. Matemáticamente, isso é representado por:
I
Aqui, $ dA $ é um elemento de área no fio cilíndrico.

Passo 3

Como estamos lidando com um fio cilíndrico, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, um elemento de área $ dA $ é dado por:
dA
Isso porque a área de um anel fino com raio $ r $ e espessura $ dr $ é aproximadamente $ 2\pi r , dr $.

Passo 4

Agora, substituímos $ J $ e $ dA $ na integral para encontrar a corrente $ I $:
J
Simplificando os termos:
dA

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de $ r^{3} $:
r^3
Aplicando os limites de integração de $ 0,8R $ a $ R $:
integral r^3 , dr = r^44

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para $ I $:
I
Simplificando os coeficientes:
I = 6pi times 10^4 times R^44 times 0,5904 = 6pi times 10^4 times 0,59044 R^4
Nota: Aqui, $ R = 2,0 $ mm = $ 0,002 $ m.

Passo 7

Calculando $ (0,002)^{4} $:
(0,002)^4
Agora, substituindo de volta:
(0,002)^4 = 16 times 10^-12 , m^4
Multiplicando os coeficientes:
I approx 6pi times 10^4 times 0,1476 times 16 times 10^-12
I approx 6 times 3,1416 times 10^4 times 0,1476 times 16 times 10^-12
I approx 18,8496 times 10^4 times 0,1476 times 16 times 10^-12
I approx 18,8496 times 0,1476 times 16 times 10^-8
I approx 0,441 times 16 times 10^-8

Resposta

A corrente que passa no anel concêntrico com raio interno $ 0,8R $ e raio externo $ R $ é aproximadamente $ 7,06 \times 10^{-8} $ ampères.

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