O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio
é dado por
, com J em ampères por metro quadrado e a distância radial r em metros.
a) Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, cujo raio interno é 0,8R e cujo raio externo é R?
a) Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, cujo raio interno é 0,8R e cujo raio externo é R?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a densidade de corrente $ J $ em um fio cilíndrico com raio $ R = 2,0 $ mm. A densidade de corrente é dada por $ J = 3 \times 10^{4} , r^{2} $, onde $ r $ é a distância radial em metros. Nosso objetivo é encontrar a corrente que passa por um anel concêntrico com esse fio, com raio interno $ 0,8R $ e raio externo $ R $. Para isso, vamos usar conceitos de integração em áreas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a corrente $ I $ que passa por uma área específica é obtida integrando a densidade de corrente $ J $ sobre essa área. Matemáticamente, isso é representado por:
Aqui, $ dA $ é um elemento de área no fio cilíndrico.
Passo 3
Como estamos lidando com um fio cilíndrico, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, um elemento de área $ dA $ é dado por:
Isso porque a área de um anel fino com raio $ r $ e espessura $ dr $ é aproximadamente $ 2\pi r , dr $.
Passo 4
Agora, substituímos $ J $ e $ dA $ na integral para encontrar a corrente $ I $:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de $ r^{3} $:
Aplicando os limites de integração de $ 0,8R $ a $ R $:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para $ I $:
Simplificando os coeficientes:
Nota: Aqui, $ R = 2,0 $ mm = $ 0,002 $ m.
Passo 7
Calculando $ (0,002)^{4} $:
Agora, substituindo de volta:
Multiplicando os coeficientes:
Resposta
A corrente que passa no anel concêntrico com raio interno $ 0,8R $ e raio externo $ R $ é aproximadamente $ 7,06 \times 10^{-8} $ ampères.