Uma partícula deixa a origem com uma velocidade inicial v=(3,00 imath+5,00 jmath) m / s e uma aceleração constante a=(0,00 imath-9,80 jmath) m / s^2. Quando ela atinge o máximo valor de sua coordenada y, quais são (a) o seu vetor velocidade e (b) o seu vetor posição?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de movimento com aceleração constante. A questão diz que uma partícula parte da origem com uma velocidade inicial de v = (3,00 imath + 5,00 jmath) , m/s e uma aceleração constante de a = (0,00 imath - 9,80 jmath) , m/s²². Queremos descobrir, quando a coordenada y da partícula atinge seu valor máximo:
(a) Qual é o vetor velocidade da partícula?
(b) Qual é o vetor posição da partícula?
Para resolver, vamos utilizar as equações do movimento com aceleração constante e entender como a velocidade e posição mudam no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando a coordenada y atinge seu valor máximo. Isso acontece quando a velocidade na direção y é zero, ou seja, quando a partícula para de subir e está prestes a começar a descer.
A velocidade na direção y é dada por:
vy(t) = vy0 + ay t
Onde:
  • vy0 = 5,00 , m/s (velocidade inicial em y)
  • ay = -9,80 , m/s²² (aceleração em y)
Queremos encontrar o tempo tmax em que vy(tmax) = 0.

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar tmax:
0 = 5,00 , m/s + (-9,80 , m/s²) times tmax ²
Isolando tmax:
tmax = 5,00 , m/s9,80 , m/s² approx 0,51 , s ²
Então, a coordenada y atinge seu máximo após aproximadamente 0,51 segundos.

Passo 4

(a) Agora, vamos encontrar o vetor velocidade no tempo tmax = 0,51 , s.
A velocidade na direção x não muda porque a aceleração em x é zero:
vx(t) = vx0 + ax t = 3,00 , m/s + 0 times t = 3,00 , m/s
A velocidade na direção y no tempo tmax é zero:
vy(tmax) = 0 , m/s
Portanto, o vetor velocidade no máximo de y é:
v = (3,00 imath + 0 jmath) , m/s

Passo 5

(b) Agora, vamos encontrar o vetor posição no tempo tmax = 0,51 , s.
A posição na direção x é:
x(t) = vx0 t + 12 ax t² = 3,00 times 0,51 + 12 times 0 times (0,51)^2 = 1,53 , m ²
A posição na direção y no tempo tmax é:
y(t) = vy0 t + 12 ay t² = 5,00 times 0,51 + 12 times (-9,80) times (0,51)^2 approx 1,28 , m ²
Portanto, o vetor posição no máximo de y é:
r = (1,53 imath + 1,28 jmath) , m

Resposta

(a) O vetor velocidade é v = (3,00 imath + 0 jmath) , m/s.
(b) O vetor posição é r = (1,53 imath + 1,28 jmath) , m.

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