O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio
é dado por
, com J em ampères por metro quadrado e a distância radial r em metros.
b) Qual a resistividade (
) e a condutividade (
), se o fio for submetido a um campo elétrico cuja d.d.p é 24 V (considere a resistência ôhmica) entre as extremidades de comprimento
?
b) Qual a resistividade (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos envolve a densidade de corrente em um fio cilíndrico. O enunciado nos dá a densidade de corrente $ J = 3 \times 10^4 r^2 $ em ampères por metro quadrado, onde $ r $ é a distância radial em metros. O fio tem raio $ R = 2{,}0 $ mm e comprimento $ L = 10 $ cm, e uma diferença de potencial de 24 V é aplicada entre suas extremidades. Nosso objetivo é encontrar a resistividade $ \rho $ e a condutividade $ \sigma $ do material do fio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade como densidade de corrente, resistividade, condutividade e a Lei de Ohm.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a corrente total $ I $ que passa pelo fio. Sabemos que a densidade de corrente $ J $ varia com o raio $ r $, então precisamos integrar $ J $ sobre a área da seção transversal do fio para encontrar $ I $.
A seção transversal de um fio cilíndrico é um círculo com área $ A = \pi R^2 $. Para integrar $ J $, usamos coordenadas polares:
Substituindo $ J = 3 \times 10^4 r^2 $:
Integrando:
Agora, substituindo $ R = 2{,}0 $ mm = $ 2{,}0 \times 10^{-3} $ m:
Passo 3
Agora que temos a corrente $ I $, vamos usar a Lei de Ohm para relacionar a diferença de potencial $ V $, a resistência $ R_{total} $ do fio e a corrente:
Queremos encontrar $ R_{total} $, então rearranjamos:
Substituindo $ V = 24 $ V e $ I \approx 7{,}54 \times 10^{-7} $ A:
Passo 4
A resistência ôhmica $ R_{total} $ também está relacionada à resistividade $ \rho $, ao comprimento $ L $ e à área da seção transversal $ A $ do fio pela fórmula:
Queremos encontrar $ \rho $, então rearranjamos:
A área $ A $ é $ \pi R^2 $, e $ L = 10 $ cm = $ 0{,}10 $ m. Substituindo:
Passo 5
A condutividade $ \sigma $ é o inverso da resistividade:
Substituindo $ \rho = 4{,}00 \times 10^3 , \Omega \cdot m $:
Resposta
A resistividade do fio é $ \rho = 4{,}00 \times 10^3 , \Omega \cdot m $ e a condutividade é $ \sigma = 2{,}5 \times 10^{-4} , S/m $.