O módulo do deslocamento de uma partícula pode ser menor do que a distância percorria pela partícula sobre a respectiva trajetória? O módulo pode ser menor do que a distância percorrida? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se o módulo do deslocamento de uma partícula pode ser menor do que a distância que ela efetivamente percorre ao longo de sua trajetória. O conteúdo aqui é cinemática vetorial: vamos precisar da definição de deslocamento vetorial e de distância percorrida (comprimento de curva).

Passo 2

Definimos o deslocamento vetorial como\r
De<a vec r = vec r(tf) - vec r(ti) \r
e o módulo do deslocamento como |De<a vec r|. Já a distância percorrida é o comprimento da trajetória C, dado por\r
s = integralti^tf |vec v(t)|;dt \r
ou, geometricamente,\r
s = integralC ds

Passo 3

Pela desigualdade triangular para comprimentos de curva, qualquer caminho C que liga o ponto inicial A ao ponto final B satisfaz\r
s ;>=;|AB| = |De<a vec r| \r
Se a trajetória não for exatamente a reta de A a B, essa desigualdade é estrita, ou seja, s > |De<a vec r|.

Passo 4

Isso significa que sempre teremos\r
|De<a vec r| <= s, \r
com igualdade só quando a partícula se move ao longo da reta que une A e B sem voltar ou desviar. Em qualquer outro caso — por exemplo, um movimento circular completo — a distância percorrida s será maior que o módulo do deslocamento (no exemplo do círculo completo, |De<a vec r|=0 e s>0).

Resposta

Sim. O módulo do deslocamento |De<a vec r| pode (e normalmente é) menor que a distância percorrida s; a desigualdade torna-se estrita sempre que a trajetória não for uma reta entre os pontos inicial e final.

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