Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta de tal modo que sua posição é dada por:
x=x0+v0 t+b t^2+c t^3
onde x0 é a posição inicial, v0 a posição inicial, e b e c são constantes de dimensões apropriadas. Admitindo SI para a unidades:
a. Qual as unidades de bec ?
b. Qual a expressão para a velocidade.
c. Qual a expressão para aceleração.
d. Após 3 segundos, qual a posição, a velocidade e aceleração do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo: x(t)=x0+v0t+b t^2+c t^3. O conteúdo aqui é cinemática unidimensional, e vamos precisar de análise dimensional para as constantes e de derivadas para obter velocidade e aceleração.

Passo 2

Para achar as unidades de b e c, igualamos as dimensões de cada termo a metros ( m). Como b t^2 tem dimensão de comprimento:
[b]cdot [T]^2=[L]
Logo [b]=[L][T]^-2=m/s^2. De modo análogo para c t^3:
[c]cdot [T]^3=[L]
Logo [c]=[L][T]^-3=m/s^3.

Passo 3

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Derivando x(t):
v(t)=dxdt=v0+2bt+3ct^2

Passo 4

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Derivando v(t):
a(t)=dvdt=2b+6ct

Passo 5

Para t=3,s, substituímos em cada expressão:
x(3)=x0+v0cdot3+bcdot3^2+ccdot3^3=x0+3v0+9b+27c
v(3)=v0+2bcdot3+3ccdot3^2=v0+6b+27c
a(3)=2b+6ccdot3=2b+18c

Resposta

Unidades: b em m/s² e c em m/s³; velocidade v(t)=v₀+2b t+3c t²; aceleração a(t)=2b+6c t; em t=3 s: x(3)=x₀+3v₀+9b+27c, v(3)=v₀+6b+27c e a(3)=2b+18c.

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