Um gás de massa molecular 28 tem um volume de 4,0 \mathrm{ft}^{3} à pressão e temperatura de 2.000 psfa (lb/ \mathrm{ft}^{2} abs.) e 600^{\circ} \mathrm{R}, respectivamente. Quais são seus volume e peso especificos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos os números do enunciado):
  • Massa molecular: M=28 (unidade usual: \mathrm{lbm}/\mathrm{lbmol}).
  • Volume ocupado pelo gás numa amostra: V=4,0\\ \mathrm{ft}^3.
  • Pressão absoluta: P=2000\\ \mathrm{psf} = 2000\\ \mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^2.
  • Temperatura: T=600^\circ\mathrm{R}.
O que o problema pede:
  • O volume específico do gás (isto é, o volume por unidade de massa, normalmente denotado v, em \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm}).
  • O peso específico do gás (isto é, o peso por unidade de volume, normalmente denotado \gamma, em \mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^3).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Para um gás ideal vale a equação de estado:
PV = m R T,
onde P é a pressão (em \mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^2), V é o volume (em \mathrm{ft}^3), m é a massa (em \mathrm{lbm}), T é a temperatura (em ^\circ\mathrm{R}) e R é a constante específica do gás (em \mathrm{ft}\cdot\mathrm{lbf}/(\mathrm{lbm}\cdot^\circ\mathrm{R})).
  • O volume específico v é definido por
v=\frac{V}{m},
portanto, da equação dos gases ideais obtemos a fórmula direta
v=\frac{R T}{P}.
Essa fórmula é muito útil: ela nos dá o volume por unidade de massa sabendo apenas R, T e P.
  • A densidade de massa (massa por volume) é \rho = 1/v (em \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3).
  • O peso específico \gamma (peso por volume, em \mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^3) relaciona-se com a densidade por
\gamma = \rho\cdot\frac{g}{g_c},
onde g é a aceleração da gravidade e g_c é a constante de conversão nas unidades inglesas. Numericamente g/g_c=1 (usualmente g=32,174\\ \mathrm{ft}/\mathrm{s}^2 e g_c=32,174\\ \mathrm{lbm}\cdot\mathrm{ft}/(\mathrm{lbf}\cdot\mathrm{s}^2)), portanto, em unidades usuais de engenharia inglesa, o valor numérico do peso específico em \mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^3 coincide com a densidade em \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3. Assim podemos usar diretamente
\gamma=\rho=\frac{P}{R T}
(com a mesma expressão que dá \rho porque os fatores g e g_c se cancelam numericamente).

Passo 3

Valor da constante do gás para este gás:
  • A constante universal dos gases na unidades inglesas vale aproximadamente R_u=1545\\ \mathrm{ft}\cdot\mathrm{lbf}/(\mathrm{lbmol}\cdot^\circ\mathrm{R}).
  • A constante específica do gás é \displaystyle R=\frac{R_u}{M}. Substituindo M=28:
R=\frac{1545}{28}\\ \mathrm{\frac{ft\cdot lbf}{lbm\cdot^\circ R}}.
Agora calculamos esse valor numérico.

Passo 4

Cálculo numérico de R e de v:
  • Primeiro R:
R=\frac{1545}{28}=55,1786\\ \mathrm{\frac{ft\cdot lbf}{lbm\cdot^\circ R}}\\ (\text{aprox.}).
  • Agora v=\dfrac{R T}{P}. Substituindo R, T=600 e P=2000:
v=\frac{55,1786\cdot 600}{2000}.
Faço as contas passo a passo:
55,1786\cdot 600 = 33\,107,16,
v=\frac{33\,107,16}{2000}=16,55358\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm}.
Arredondando a um número razoável de algarismos (dados iniciais com 2–3 algarismos): v\approx16,6\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm}.

Passo 5

Cálculo da densidade de massa e do peso específico:
  • Densidade de massa:
\rho=\frac{1}{v}=\frac{1}{16,55358}=0,0604\\ \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3\\ (\text{aprox.}).
  • Peso específico (peso por volume) em \mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^3: como explicado em

Passo 6

\gamma=\rho\approx0,0604\\ \mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^3.
Observação prática: também se pode obter \gamma diretamente por \gamma=\dfrac{P}{R T}; é a mesma conta feita de outro jeito.

Passo 7

Uso do volume dado V=4,0\\ \mathrm{ft}^3 (opcional, para verificar/mostrar massa da amostra):
  • A massa da amostra é m=\dfrac{V}{v}=\dfrac{4,0}{16,55358}=0,2416\\ \mathrm{lbm} (aprox.). Isso confirma que as grandezas específicas que calculamos fazem sentido para a amostra fornecida.

Resposta

v\approx16,6\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm}
\gamma\approx0,0604\\ \mathrm{lbf}/\mathrm{ft}^3

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