Encontre o passo da hélice, isto é, a distância percorrida pela partícula ao longo do eixo da hélice durante um período de revolução.

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o passo (pitch) da hélice, isto é, a distância percorrida pela partícula ao longo do eixo da hélice durante um período de revolução.
Informações dadas implicitamente pelo enunciado:
  • A hélice é uma curva que se enrola em torno de um eixo (normalmente o eixo z) com movimento circular na projeção xy e avanço na direção z.
  • Geralmente a hélice é dada por uma parametrização do tipo trigonométrica para as componentes x e y e uma função linear para z.
    Nada mais foi especificado, então vou trabalhar com as parametrizações padrão e mostrar como extrair o passo a partir delas.

Passo 2

Definição padrão de uma hélice e significado das variáveis.
A forma mais comum de parametrização de uma hélice é
\mathbf{r}(t)=\big(R\cos t,\;R\sin t,\;c\,t\big),
onde:
  • R>0 é o raio da hélice (distância da curva ao eixo z na projeção xy),
  • t é o parâmetro (aqui escolhido igual ao ângulo polar em radianos),
  • c é a taxa de variação vertical por unidade de t (unidade de z por radiano).
    Interpretação: quando t aumenta, a partícula gira em torno do eixo z (pela parte \cos t,\sin t) e sobe (ou desce) linearmente em z com velocidade vertical c.

Passo 3

O que é um “período de revolução” na parametrização usada.
Como \cos t e \sin t têm período 2\pi, uma revolução completa ocorre quando t aumenta em 2\pi. Ou seja, se a partícula está em t=t_0, após uma volta estará em t=t_0+2\pi (mesma posição angular na projeção xy).

Passo 4

Cálculo da variação vertical \Delta z durante uma revolução.
Na parametrização dada, a componente z é z(t)=c\,t. Então a variação de z após uma revolução é
\Delta z = z(t_0+2\pi)-z(t_0)=c\,(t_0+2\pi)-c\,t_0=2\pi c.
O passo da hélice é a magnitude dessa variação ao longo do eixo (distância, sempre não negativa), portanto
\text{passo} = \big|\,\Delta z\,\big| = \big|\,2\pi c\,\big| = 2\pi\,|c|.

Passo 5

Interpretação prática e orientação para a prova.
  • Se a hélice é dada exatamente por \mathbf{r}(t)=\big(R\cos t,R\sin t,c t\big), basta identificar o coeficiente c da componente z e multiplicar por 2\pi (e tomar valor absoluto).
  • Não confunda período do parâmetro t com período temporal físico se a parametrização usar uma velocidade angular diferente (veja o caso geral no próximo passo).

Passo 6

Caso mais geral: quando o ângulo é \omega t em vez de t.
Se a hélice for parametrizada como
\mathbf{r}(t)=\big(R\cos(\omega t),\;R\sin(\omega t),\;v\,t\big),
onde \omega>0 é a velocidade angular (radianos por unidade de t) e v é a velocidade vertical (unidades de z por unidade de t), então:
  • Uma revolução corresponde a \omega \Delta t = 2\pi, logo \Delta t=\dfrac{2\pi}{\omega}.
  • A variação vertical nesse tempo é \Delta z = v\,\Delta t = v\cdot\dfrac{2\pi}{\omega}.
  • Tomando a magnitude, o passo vale
\text{passo} = \left|\dfrac{2\pi v}{\omega}\right|.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos (para fixar).
  • Exemplo 1: \mathbf{r}(t)=(3\cos t,3\sin t,1\cdot t). Aqui c=1. Passo =2\pi\cdot|1|=2\pi.
  • Exemplo 2: \mathbf{r}(t)=(1\cos(2t),1\sin(2t),3t). Aqui \omega=2, v=3. Passo =2\pi\cdot\frac{|3|}{2}=3\pi.

Passo 8

Relação com o comprimento da curva por revolução (curiosidade útil na prova).
O comprimento da hélice durante uma volta (não pedido, mas bom saber) é a hipotenusa formada pelo deslocamento circular e o avanço vertical:
  • deslocamento circular por uma volta: 2\pi R,
  • avanço vertical (passo): p.
    Então o comprimento por volta é
\text{comprimento por volta}=\sqrt{(2\pi R)^2 + p^2},
onde p é o passo calculado acima. Isso aparece às vezes em exercícios que pedem velocidade escalar média, etc.

Resposta

Para \mathbf{r}(t)=\big(R\cos t,R\sin t,c\,t\big): 2\pi\,|c|.
Para \mathbf{r}(t)=\big(R\cos(\omega t),R\sin(\omega t),v\,t\big): \displaystyle \frac{2\pi\,|v|}{\omega}.

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