Encontre o passo da hélice, isto é, a distância percorrida pela partícula ao longo do eixo da hélice durante um período de revolução.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o passo (pitch) da hélice, isto é, a distância percorrida pela partícula ao longo do eixo da hélice durante um período de revolução.
Informações dadas implicitamente pelo enunciado:
A hélice é uma curva que se enrola em torno de um eixo (normalmente o eixo z) com movimento circular na projeção xy e avanço na direção z.
Geralmente a hélice é dada por uma parametrização do tipo trigonométrica para as componentes x e y e uma função linear para z.
Nada mais foi especificado, então vou trabalhar com as parametrizações padrão e mostrar como extrair o passo a partir delas.
Passo 2
Definição padrão de uma hélice e significado das variáveis.
A forma mais comum de parametrização de uma hélice é
\mathbf{r}(t)=\big(R\cos t,\;R\sin t,\;c\,t\big),
onde:
R>0 é o raio da hélice (distância da curva ao eixo z na projeção xy),
t é o parâmetro (aqui escolhido igual ao ângulo polar em radianos),
c é a taxa de variação vertical por unidade de t (unidade de z por radiano).
Interpretação: quando t aumenta, a partícula gira em torno do eixo z (pela parte \cos t,\sin t) e sobe (ou desce) linearmente em z com velocidade vertical c.
Passo 3
O que é um “período de revolução” na parametrização usada.
Como \cos t e \sin t têm período 2\pi, uma revolução completa ocorre quando t aumenta em 2\pi. Ou seja, se a partícula está em t=t_0, após uma volta estará em t=t_0+2\pi (mesma posição angular na projeção xy).
Passo 4
Cálculo da variação vertical \Delta z durante uma revolução.
Na parametrização dada, a componente z é z(t)=c\,t. Então a variação de z após uma revolução é
\Delta z = z(t_0+2\pi)-z(t_0)=c\,(t_0+2\pi)-c\,t_0=2\pi c.
O passo da hélice é a magnitude dessa variação ao longo do eixo (distância, sempre não negativa), portanto
Se a hélice é dada exatamente por \mathbf{r}(t)=\big(R\cos t,R\sin t,c t\big), basta identificar o coeficiente c da componente z e multiplicar por 2\pi (e tomar valor absoluto).
Não confunda período do parâmetro t com período temporal físico se a parametrização usar uma velocidade angular diferente (veja o caso geral no próximo passo).
Passo 6
Caso mais geral: quando o ângulo é \omega t em vez de t.