Se o módulo do vetor v é raiz2,|u+v|=5 e |u-v|=3. Calcular o ângulo entre os vetores u e v.

Passo 1

O enunciado dá três informações sobre os vetores u e v:
;|v| = raiz2,;|u+v| = 5,;|u-v| = 3.
Queremos o ângulo theta entre u e v. Vamos usar a relação
|upm v|^2 = |u|^2 + |v|^2 pm 2,ucdotv
e a definição de produto escalar para achar ucdotv e os módulos.

Passo 2

Aplicando a fórmula para +:
|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2,ucdotv
Como |u+v|=5 e |v|^2=2, temos
25 = |u|^2 + 2 + 2,(ucdotv),
ou seja
|u|^2 + 2,(ucdotv) = 23

Passo 3

Aplicando a fórmula para “–”:
|u-v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2,ucdotv
Como |u-v|=3 e |v|^2=2, obtemos
9 = |u|^2 + 2 - 2,(ucdotv),
ou seja
|u|^2 - 2,(ucdotv) = 7

Passo 4

Temos o sistema em
Somando as duas equações dá .
Substituindo em resulta , ou seja e portanto

Passo 5

Agora usamos a definição do cosseno do ângulo entre vetores:
costheta = ucdotv|u|;|v| = 4raiz15,raiz2 = 4raiz30
Assim
theta = arccos!l(tfrac4raiz30r)

Resposta

theta = arccos!l(4raiz30r)approx 43,0^circ

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