3- Um operador linear T, definido em P2(R), é tal que T(1)=t^2, T(t)=1-t e T(t^2)=1+t+t^2.
a) Determine T(a+b t+c t^2), onde a+b t+c t^2 é um vetor genérico de P2(R).
b) Determine p in P2(R) tal que T(p)=3-t+t^2.

Passo 1

O enunciado define um operador linear T: P2(R) to P2(R) pelas imagens nos polinômios da base canônica:
T(1)=t^2, T(t)=1-t, T(t^2)=1+t+t^2
a) Pede-se Tl(a+bt+ct^2r) usando linearidade.
b) Pede-se encontrar p(t)in P2(R) tal que T(p)=3 - t + t^2.

Passo 2

Pela linearidade de T temos
T(a+bt+ct^2) = a,T(1)+b,T(t)+c,T(t^2) = a,t^2+b,(1-t)+c,(1+t+t^2)
Reagrupando termos, o termo constante é b+c, o coeficiente de t é -b+c e o de t^2 é a+c. Portanto
T(a+bt+ct^2) = (b+c)+(-b+c),t+(a+c),t^2

Passo 3

Para encontrar
Isso gera o sistema
Somando as duas primeiras equações obtém-se . Finalmente, .

Passo 4

Concluímos que
p(t)=alpha+beta,t+gamma,t^2=0 + 2,t + 1cdot t^2=2t+t^2

Resposta

(a) T(a+bt+ct^2) = (b+c)+(-b+c),t+(a+c),t^2
(b) p(t)=2t+t^2

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