Para um módulo voloumétrico de elasticidade constante, como varia a densidade de um fluido com a pressão?
Resposta: rho2 / rho1=e^p2-p1E.

Passo 1

Beleza, o exercício pergunta: “Para um módulo volumétrico de elasticidade constante, como varia a densidade de um fluido com a pressão?” Isso é matéria de mecânica de fluidos ou elasticidade de materiais; a gente vai usar a definição de módulo volumétrico (ou bulk modulus) e a relação entre volume e densidade para chegar na fórmula. O que precisamos:
  • A definição de módulo volumétrico .
  • A relação (densidade é massa sobre volume).
  • Um pouquinho de cálculo para integrar a versão diferencial da equação.

Passo 2

Definindo o módulo volumétrico E ;=;-V,dpdV,, :
Por definição, o módulo volumétrico de elasticidade é
onde é a pressão e o volume. Esse sinal negativo aparece porque, quando a pressão aumenta, o volume diminui.

Passo 3

Agora, a densidade drho = -mV^2,dV = -rho,dVV;;Longrightarrow;;dVV = -drhorho, do fluido é , com massa constante. Se varia, a densidade varia também. Vamos relacionar com . Diferenciando :

Passo 4

Substituindo E = -V,dpdV Longrightarrow dp = -EV,dV =; Erho,drho na definição de dp = E,drhorho, :
integralp1^p2 dp ;=; Eintegralrho1^rho2drhorho ;;Longrightarrow;; p2-p1 = El[ln(rho2)-ln(rho1)r]
ou seja
Agora a gente separa variáveis e integra de um estado 1 para um estado 2:

Passo 5

Aplicando propriedades de logaritmo:
ln!l(tfracrho2rho1r) = p2 - p1E Longrightarrow rho2rho1 = e^p2 - p1E

Resposta

boxedrho2rho1 = e^p2-p1E

Exercícios relacionados