Para um módulo voloumétrico de elasticidade constante, como varia a densidade de um fluido com a pressão?
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, o exercício pergunta: “Para um módulo volumétrico de elasticidade constante, como varia a densidade de um fluido com a pressão?” Isso é matéria de mecânica de fluidos ou elasticidade de materiais; a gente vai usar a definição de módulo volumétrico (ou bulk modulus) e a relação entre volume e densidade para chegar na fórmula. O que precisamos:
- A definição de módulo volumétrico
. - A relação
(densidade é massa sobre volume). - Um pouquinho de cálculo para integrar a versão diferencial da equação.
Passo 2
Definindo o módulo volumétrico
:
Por definição, o módulo volumétrico de elasticidade é
Por definição, o módulo volumétrico de elasticidade é
onde
é a pressão e
o volume. Esse sinal negativo aparece porque, quando a pressão aumenta, o volume diminui.
Passo 3
Agora, a densidade
do fluido é
, com massa
constante. Se
varia, a densidade varia também. Vamos relacionar
com
. Diferenciando
:
Passo 4
Substituindo
na definição de
:
ou seja
Agora a gente separa variáveis e integra de um estado 1 para um estado 2:
Passo 5
Aplicando propriedades de logaritmo: