Ex 8: Uma moeda de cobre de 7,3 \mathrm{~g} está a uma temperatura de 18,8^{\circ} \mathrm{C}. Esta moeda é colocada em 10,0 \mathrm{~g} de água a uma temperatura de 54,0^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a temperatura final da moeda? ( C _{\text {sCu }} é 0,384 \mathrm{~J} / \mathrm{g} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) (resp \left.=51,8^{\circ} \mathrm{C}\right)

Passo 1

O enunciado pede a temperatura final da moeda depois de ser colocada na água. Dados fornecidos:
  • massa da moeda de cobre: m_{\text{Cu}}=7,3\\ \mathrm{g};
  • temperatura inicial da moeda: T_{\text{Cu,i}}=18,8^{\circ}\mathrm{C};
  • massa de água: m_{\text{água}}=10,0\\ \mathrm{g}á;
  • temperatura inicial da água: T_{\text{água,i}}=54,0^{\circ}\mathrm{C}á;
  • calor específico do cobre: c_{\text{Cu}}=0,384\\ \mathrm{J}/\mathrm{g}\,^{\circ}\mathrm{C}.
    O enunciado não deu o calor específico da água; vou usar o valor padrão:
  • calor específico da água: c_{\text{água}}=4,18\\ \mathrm{J}/\mathrm{g}\,^{\circ}\mathrm{C}á.
Assumimos que não há troca de calor com o ambiente ou com o recipiente — só a água e a moeda trocam calor e atingem uma temperatura final comum T_f. A pergunta é: qual é T_f?

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicação didática):
  • Quando dois corpos a temperaturas diferentes são colocados em contato térmico, energia térmica (calor) flui do mais quente para o mais frio até que as temperaturas fiquem iguais.
  • A quantidade de calor trocada por um corpo quando sua temperatura muda é dada por
Q = m c \Delta T,
onde:
  • Q é o calor trocado (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa do corpo (em gramas, \mathrm{g});
  • c é o calor específico do material (em \mathrm{J}/\mathrm{g}\,^{\circ}\mathrm{C});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em {}^{\circ}\mathrm{C}), calculada como T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
  • Conservação de energia (no sistema isolado água + moeda): o calor ganho por um corpo é igual ao calor perdido pelo outro. Matematicamente:
Q_{\text{água}} + Q_{\text{Cu}} = 0,á
onde sinais positivos/negativos aparecem automaticamente se usarmos \Delta T = T_f - T_i.

Passo 3

Escrever a equação de conservação usando a fórmula do calor:
m_{\text{água}} c_{\text{água}} (T_f - T_{\text{água,i}}) + m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}} (T_f - T_{\text{Cu,i}}) = 0.ááá
Aqui cada termo é o calor trocado pelo respectivo corpo; se T_f ficar entre as temperaturas iniciais, um termo será negativo (o que perdeu calor) e o outro positivo (o que ganhou calor).

Passo 4

Isolar T_f na equação anterior. Reorganizando:
m_{\text{água}} c_{\text{água}} T_f - m_{\text{água}} c_{\text{água}} T_{\text{água,i}} + m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}} T_f - m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}} T_{\text{Cu,i}} = 0.ááááá
Agrupando os termos em T_f:
T_f \bigl(m_{\text{água}} c_{\text{água}} + m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}}\bigr) = m_{\text{água}} c_{\text{água}} T_{\text{água,i}} + m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}} T_{\text{Cu,i}}.ááááá
Portanto:
T_f = \frac{m_{\text{água}} c_{\text{água}} T_{\text{água,i}} + m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}} T_{\text{Cu,i}}}{m_{\text{água}} c_{\text{água}} + m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}}}.ááááá
Essa fórmula é intuitiva: é uma média ponderada das temperaturas iniciais, com pesos m c (capacidade térmica).

Passo 5

Agora vamos substituir os valores numéricos. Primeiro calculo as capacidades térmicas ( m c) de cada corpo:
m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}} = 7,3 \times 0,384 = 2,8032\\ \mathrm{J}/^{\circ}\mathrm{C},
m_{\text{água}} c_{\text{água}} = 10,0 \times 4,18 = 41,8\\ \mathrm{J}/^{\circ}\mathrm{C}.áá
A soma:
m_{\text{água}} c_{\text{água}} + m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}} = 41,8 + 2,8032 = 44,6032\\ \mathrm{J}/^{\circ}\mathrm{C}.áá

Passo 6

Calculo o numerador da expressão de T_f:
m_{\text{água}} c_{\text{água}} T_{\text{água,i}} = 41,8 \times 54,0 = 2257,2\\ \mathrm{J},ááá
m_{\text{Cu}} c_{\text{Cu}} T_{\text{Cu,i}} = 2,8032 \times 18,8 = 52,70016\\ \mathrm{J}.
Somando:
\text{numerador} = 2257,2 + 52,70016 = 2309,90016\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Agora divido numerador pela soma das capacidades térmicas para obter T_f:
T_f = \frac{2309,90016}{44,6032} \approx 51,788\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando para uma casa decimal (como os dados originais têm uma casa decimal), obtemos T_f \approx 51,8^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação rápida e dica para prova:
  • A moeda é muito menor e tem calor específico baixo, então a água domina a média; por isso T_f fica bem próximo de 54,0^{\circ}\mathrm{C} (o valor da água), mas um pouco menor porque a moeda absorveu calor.
  • Em provas, memorizar a fórmula T_f = \dfrac{\sum m c T_i}{\sum m c} ajuda: é a média ponderada por capacidades térmicas.
  • Sempre cheque as unidades ( \mathrm{g} e \mathrm{J}/\mathrm{g}\,^{\circ}\mathrm{C} combinam) e anote a suposição de sistema isolado se não houver indicação de trocas com o ambiente.

Resposta

51,8^{\circ}\mathrm{C}

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