3.46 Um ponto X é selecionado aleatoriamente de um segmento de reta A B com ponto médio O. Encontre a probabilidade de os segmentos A X, X B e A O formarem um triângulo.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, para um ponto X escolhido aleatoriamente em um segmento de reta AB cujo ponto médio é O, os comprimentos dos segmentos AX, XB e AO possam ser as medidas dos lados de um triângulo. Informações dadas:
  • Há um segmento AB com comprimento total AB.
  • O é o ponto médio de AB.
  • O ponto X é escolhido aleatoriamente sobre o segmento AB (implícito: distribuição uniforme ao longo do segmento).
  • Quer-se a probabilidade de que os três números AX, XB e AO satisfaçam as condições para serem os lados de um triângulo.

Passo 2

Vamos introduzir variáveis para trabalhar de forma limpa. Seja L o comprimento do segmento AB:
L = AB.
Colocamos a origem em A e o eixo ao longo de AB, de modo que a coordenada de A é 0 e a de B é L. O ponto médio O tem coordenada \dfrac{L}{2}. Seja x a coordenada de X (distância de A até X), logo 0\le x\le L. Assim:
AX = x,\qquad XB = L-x,\qquad AO = \frac{L}{2}.

Passo 3

Lembrete didático (triângulo): três segmentos com comprimentos positivos a,b,c podem ser lados de um triângulo se e somente se satisfazem as três desigualdades do tipo “soma de dois maiores que o terceiro”:
a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a.
Aqui aplicaremos essa regra para a=AX, b=XB, c=AO. Uma observação útil: se uma das desigualdades for sempre verdadeira por dependência entre os comprimentos, bastará verificar as outras duas.

Passo 4

Aplicamos as desigualdades do triângulo aos nossos comprimentos.
Primeira desigualdade:
AX + XB > AO \quad\Longleftrightarrow\quad x + (L-x) > \frac{L}{2}.
O lado esquerdo simplifica para L, então a desigualdade fica
L > \frac{L}{2},
o que é sempre verdadeiro para L>0. Portanto essa desigualdade não impõe restrição adicional sobre x.
Segunda desigualdade:
AX + AO > XB \quad\Longleftrightarrow\quad x + \frac{L}{2} > L - x.
Terceira desigualdade:
XB + AO > AX \quad\Longleftrightarrow\quad (L-x) + \frac{L}{2} > x.

Passo 5

Resolvemos as duas desigualdades que deram restrições em termos de x.
Para a segunda:
x + \frac{L}{2} > L - x.
Somando x aos dois lados e subtraindo \frac{L}{2}:
2x > L - \frac{L}{2} = \frac{L}{2}.
Dividindo por 2:
x > \frac{L}{4}.
Para a terceira:
L - x + \frac{L}{2} > x.
Somando x aos dois lados:
L + \frac{L}{2} > 2x.
Isto é
\frac{3L}{2} > 2x.
Dividindo por 2:
x < \frac{3L}{4}.
Portanto, as duas desigualdades juntas exigem
\frac{L}{4} < x < \frac{3L}{4}.

Passo 6

Interpretação geométrica e cálculo da probabilidade. Como X é escolhido uniformemente ao longo de AB, a probabilidade de X cair em um subintervalo é a razão entre o comprimento desse subintervalo e o comprimento total L. O intervalo de x favorável é \left(\dfrac{L}{4},\dfrac{3L}{4}\right), cujo comprimento é
\frac{3L}{4}-\frac{L}{4}=\frac{L}{2}.
Logo a probabilidade pedida é
\frac{\text{comprimento favorável}}{\text{comprimento total}}=\frac{\tfrac{L}{2}}{L}=\frac{1}{2}.á

Passo 7

Comentário final e incentivo: concluímos que metade das posições possíveis de X em AB fazem com que AX, XB e AO possam formar um triângulo. Se ficou alguma algebra chata, relaxa—o truque foi escrever as desigualdades do triângulo e traduzi-las em restrições simples para x. Dá para desenhar a reta e ver intuitivamente que o ponto X precisa ficar longe o suficiente das extremidades (pelo menos a um quarto do comprimento) e não mais do que três quartos.

Resposta

\frac{1}{2}

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