3.46 Um ponto
é selecionado aleatoriamente de um segmento de reta
com ponto médio
. Encontre a probabilidade de os segmentos
e
formarem um triângulo.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, para um ponto
escolhido aleatoriamente em um segmento de reta
cujo ponto médio é
, os comprimentos dos segmentos
,
e
possam ser as medidas dos lados de um triângulo. Informações dadas:
- Há um segmento
com comprimento total . -
é o ponto médio de . - O ponto
é escolhido aleatoriamente sobre o segmento (implícito: distribuição uniforme ao longo do segmento). - Quer-se a probabilidade de que os três números
, e satisfaçam as condições para serem os lados de um triângulo.
Passo 2
Vamos introduzir variáveis para trabalhar de forma limpa. Seja
o comprimento do segmento
:
Colocamos a origem em
e o eixo ao longo de
, de modo que a coordenada de
é
e a de
é
. O ponto médio
tem coordenada
. Seja
a coordenada de
(distância de
até
), logo
. Assim:
Passo 3
Lembrete didático (triângulo): três segmentos com comprimentos positivos
podem ser lados de um triângulo se e somente se satisfazem as três desigualdades do tipo “soma de dois maiores que o terceiro”:
Aqui aplicaremos essa regra para
,
,
. Uma observação útil: se uma das desigualdades for sempre verdadeira por dependência entre os comprimentos, bastará verificar as outras duas.
Passo 4
Aplicamos as desigualdades do triângulo aos nossos comprimentos.
Primeira desigualdade:
O lado esquerdo simplifica para
, então a desigualdade fica
o que é sempre verdadeiro para
. Portanto essa desigualdade não impõe restrição adicional sobre
.
Segunda desigualdade:
Terceira desigualdade:
Passo 5
Resolvemos as duas desigualdades que deram restrições em termos de
.
Para a segunda:
Somando
aos dois lados e subtraindo
:
Dividindo por
:
Para a terceira:
Somando
aos dois lados:
Isto é
Dividindo por
:
Portanto, as duas desigualdades juntas exigem
Passo 6
Interpretação geométrica e cálculo da probabilidade. Como
é escolhido uniformemente ao longo de
, a probabilidade de
cair em um subintervalo é a razão entre o comprimento desse subintervalo e o comprimento total
. O intervalo de
favorável é
, cujo comprimento é
Logo a probabilidade pedida é
Passo 7
Comentário final e incentivo: concluímos que metade das posições possíveis de
em
fazem com que
,
e
possam formar um triângulo. Se ficou alguma algebra chata, relaxa—o truque foi escrever as desigualdades do triângulo e traduzi-las em restrições simples para
. Dá para desenhar a reta e ver intuitivamente que o ponto
precisa ficar longe o suficiente das extremidades (pelo menos a um quarto do comprimento) e não mais do que três quartos.