3.42 De 120 estudantes, 60 estudam francês, 50 espanhol e 20 , francês e espanhol. Se um estudante é escolhido aleatoriamente, encontre a probabilidade de ele (i) estudar francês ou espanhol, (ii) não estudar nem francês nem espanhol.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
  • Total de estudantes: 120.
  • Estudam francês: 60.
  • Estudam espanhol: 50.
  • Estudam os dois (francês e espanhol): 20.
O enunciado pede:
(i) a probabilidade de um estudante escolhido aleatoriamente estudar francês ou espanhol;
(ii) a probabilidade de o estudante não estudar nem francês nem espanhol.

Passo 2

Conceito básico de probabilidade que vamos usar: se todos os estudantes são igualmente prováveis de serem escolhidos, a probabilidade de um evento E é
P(E)=\frac{\text{número de casos favoráveis a }E}{\text{número total de casos}}.úáú
Aqui o número total de casos é \,120\,.

Passo 3

Para calcular a probabilidade de estudar francês ou espanhol precisamos do número de estudantes que estudam pelo menos uma das línguas, isto é, o cardinal de F\cup S (união). A fórmula de contagem para duas categorias é a regra da inclusão-exclusão:
n(F\cup S)=n(F)+n(S)-n(F\cap S).
Explicação rápida do porquê: somando n(F) e n(S) contamos duas vezes os que estão em ambas; por isso subtrai-se n(F\cap S).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números dados:
n(F\cup S)=60+50-20.
Calculemos:
60+50=110,\qquad 110-20=90.
Logo n(F\cup S)=90. (Isto significa que 90 estudantes estudam francês ou espanhol, pelo menos uma das duas.)

Passo 5

Agora a probabilidade pedida no item (i) é
P(\text{francês ou espanhol})=\frac{n(F\cup S)}{120}=\frac{90}{120}.ê
Simplificando a fração: dividir numerador e denominador por 30,
\frac{90}{120}=\frac{90\div30}{120\div30}=\frac{3}{4}.

Passo 6

Para o item (ii) usamos a regra do complemento: a probabilidade de “nem francês nem espanhol” é a probabilidade complementar de “francês ou espanhol”. Então
P(\text{nem francês nem espanhol})=1-P(\text{francês ou espanhol})=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.êê
Podemos checar também por contagem: 120-90=30 estudantes não estudam nenhuma das línguas, e \dfrac{30}{120}=\dfrac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{3}{4}
\dfrac{1}{4}

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