3.42 De 120 estudantes, 60 estudam francês, 50 espanhol e 20 , francês e espanhol. Se um estudante é escolhido aleatoriamente, encontre a probabilidade de ele (i) estudar francês ou espanhol, (ii) não estudar nem francês nem espanhol.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
- Total de estudantes:
. - Estudam francês:
. - Estudam espanhol:
. - Estudam os dois (francês e espanhol):
.
O enunciado pede:
(i) a probabilidade de um estudante escolhido aleatoriamente estudar francês ou espanhol;
(ii) a probabilidade de o estudante não estudar nem francês nem espanhol.
(i) a probabilidade de um estudante escolhido aleatoriamente estudar francês ou espanhol;
(ii) a probabilidade de o estudante não estudar nem francês nem espanhol.
Passo 2
Conceito básico de probabilidade que vamos usar: se todos os estudantes são igualmente prováveis de serem escolhidos, a probabilidade de um evento
é
Aqui o número total de casos é
.
Passo 3
Para calcular a probabilidade de estudar francês ou espanhol precisamos do número de estudantes que estudam pelo menos uma das línguas, isto é, o cardinal de
(união). A fórmula de contagem para duas categorias é a regra da inclusão-exclusão:
Explicação rápida do porquê: somando
e
contamos duas vezes os que estão em ambas; por isso subtrai-se
.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números dados:
Calculemos:
Logo
. (Isto significa que
estudantes estudam francês ou espanhol, pelo menos uma das duas.)
Passo 5
Agora a probabilidade pedida no item (i) é
Simplificando a fração: dividir numerador e denominador por
,
Passo 6
Para o item (ii) usamos a regra do complemento: a probabilidade de “nem francês nem espanhol” é a probabilidade complementar de “francês ou espanhol”. Então
Podemos checar também por contagem:
estudantes não estudam nenhuma das línguas, e
.