Consideremos uma urna contendo n bolas, das quais n1 >= 1 são brancas e n2 >= 1 são pretas com n=n1+n2. Escolhe-se, ao acaso, uma amostra de r bolas, com r <= n1 e r <= n2. Qual a probabilidade de que exatamente k bolas nessa amostra sejam brancas, se 0 <= k <= r.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá dizendo que temos uma urna com bolas, sendo brancas e pretas (e ). A gente vai tirar uma amostra de bolas sem reposição e quer saber qual a chance de sair exatamente brancas.
Conteúdo: distribuição hipergeométrica (combinatória).
O que precisamos: entender como contar quantas amostras possíveis existem (total) e quantas delas têm exatamente brancas (casos favoráveis).

Passo 2

Primeiro, o total de jeitos de tirar binomnr bolas de sem reposição é dado pelo número de combinações de itens tomados a , que escrevemos em LaTeX como
Isso é a “base” de todas as possibilidades.

Passo 3

Agora, para ter exatamente binomn1k times binomn2r-k bolas brancas na amostra de , a gente precisa:
  1. Escolher das brancas, em jeitos.
  2. Escolher os outros das pretas, em jeitos.
    Pelo princípio multiplicativo, o total de amostras com exatamente brancas é

Passo 4

A probabilidade é simplesmente “casos favoráveis” dividido por “casos possíveis”. Logo, para P(exatamente k brancas) = binomn1k,binomn2r-kbinomnr ,

Resposta

boxedP(X = k) = binomn1k,binomn2r-kbinomnr,, 0 <= k <= r

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