Uma moeda foi lançada 150 vezes e apresentou 90 resultados cara.
Determine o intervalo de 90 % de confiança para a probabilidade de dar cara.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pede de forma resumida: lançaram uma moeda 150 vezes e deu cara em 90 dessas. Queremos montar um intervalo de confiança de 90% para a “verdadeira” probabilidade de dar cara nessa moeda.
Matéria: Estatística, mais especificamente estimação de proporção.
O que vamos precisar:
  1. calcular a proporção amostral ,
  2. usar a aproximação normal para ,
  3. achar o valor crítico pra 90% de confiança,
  4. calcular o erro padrão e a margem de erro,
  5. montar o intervalo.

Passo 2

Primeiro cálculo básico: a proporção amostral
hat p ;=;número de carasnúmero total de lançamentos ;=;90150 ;=;0,60 úúç
Isso significa que, na amostra, 60% dos lançamentos deram cara.

Passo 3

Teoria da aproximação normal: quando z0,05 approx 1,645, é grande, se comporta como uma normal com média (a verdadeira probabilidade) e variância .
Para intervalo de confiança de 90%, o valor crítico da normal padrão é
pois deixamos 5% de cada lado da cauda.

Passo 4

Agora o erro padrão (desvio-padrão de SE = raizhat p,(1-hat p)n = raiz0,6 times 0,4150 = raiz0,24150 = raiz0,0016 approx 0,04 ), na prática usamos no lugar de :

Passo 5

Margem de erro E = z0,05times SE = 1,645 times 0,04 approx 0,0658 :

Passo 6

Montando o intervalo de confiança de 90% para l[, hat p - E,; hat p + E ,r] = l[, 0,60 - 0,0658,; 0,60 + 0,0658 ,r] approx [,0,5342,;0,6658,] :
[
\bigl[,
\hat p - E,;
\hat p + E
,\bigr]

\bigl[,
0{,}60 - 0{,}0658,;
0{,}60 + 0{,}0658
,\bigr]
\approx
[,0{,}5342,;0{,}6658,].
]

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a probabilidade de dar cara na moeda é aproximadamente
boxed[,0,534,;0,666,]

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