Uma moeda honesta é lançada 4 vezes. Seja X o número de caras nos 2 primeiros lançamentos e seja Y o número de caras nos 3 últimos lançamentos. Seja Z=X+Y e W=X-Y.
(a) Liste todos os elementos do espaço amostral deste experimento, epsecificando os valores de X e Y.
(b) Calcule E(X), E(Y), Var(X), Var(Y).
© Calcule Cov(X, Y) e Corr(X, Y).
(d) Construa a função de distribuição conjunta de Z e W.
(e) Calcule E(Z) e Var(Z)
(f) Calcule E(W) e Var(W).
(g) Calcule Cov(Z W).
(h) Verifique se Z e W são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá: a questão é sobre 4 lançamentos de uma moeda honesta. Definimos
  • Z = X + Y, W = X - Y = número de caras nos 2 primeiros lançamentos,
  • = número de caras nos 3 últimos lançamentos.
    Aí formamos
O conteúdo que a gente vai usar inclui: variáveis binomiais, cálculo de esperança e variância, covariância e correlação, mudança de variáveis para distribuição conjunta e teste de independência.

Passo 2

(a) Espaço amostral e valores de X = I(s1=C) + I(s2=C), Y = I(s2=C) + I(s3=C) + I(s4=C) e
Cada sequência é um vetor , onde (Cara ou Coroa). São 16 possibilidades. Vou listar resumido indicando . Lembre que
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :
  5. :
  6. :
  7. :
  8. :
  9. :
  10. :
  11. :
  12. :
  13. :
  14. :
  15. :
  16. :

Passo 3

(b)
Teoria: se E(U)=np, Var(U)=np(1-p) , então
Aqui E(X)=2cdottfrac12=1, Var(X)=2cdottfrac12cdottfrac12=0,5 , logo
E E(Y)=3cdottfrac12=1,5, Var(Y)=3cdottfrac12cdottfrac12=0,75 , então

Passo 4

© e
Como Cov(X,Y)=Cov(I1+I2,;I2+I3+I4) =Cov(I2,I2)=Var(I2)=p(1-p)=tfrac12cdottfrac12=0,25 e Corr(X,Y)=0,25raiz0,5cdot0,75 = 0,25raiz0,375 approx0,408 ( se o i-ésimo é cara), e as tosses são independentes, só fica em comum. Usando linearidade de covariância:
E , ou seja

Passo 5

(d) Distribuição conjunta de x=tfracZ+W2, y=tfracZ-W2
Fazemos a transformação inversa:
P(Z=z,W=w) = Pl(X=tfracz+w2,;Y=tfracz-w2r),
Logo
desde que e sejam pares e .
Como já conhecemos da soma dos casos do passo (a), basta mapear para . Por exemplo:
  • Se , então e .
  • Se , então e .
    E assim por diante, preenchendo todos os pares válidos.

Passo 6

(e) E(Z)=E(X)+E(Y)=1+1,5=2,5, e
Como Var(Z)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) =0,5+0,75+2cdot0,25 =1,75 , usando linearidade e independência parcial:

Passo 7

(f) E(W)=E(X)-E(Y)=1-1,5=-0,5, e
Aqui Var(W)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y) =0,5+0,75-2cdot0,25 =0,75 , então

Passo 8

(g)

Passo 9

(h) Independência de e
Como , já basta para concluir que e não são independentes (independência implicaria covariância zero).

Resposta

(a) Listei os 16 resultados com .
(b)
©
(d) para as combinações de paridade válidas, extraído do passo (a).
(e)
(f)
(g)
(h) Não são independentes.

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