Uma moeda honesta é lançada 4 vezes. Seja
o número de caras nos 2 primeiros lançamentos e seja
o número de caras nos 3 últimos lançamentos. Seja
e
.
(a) Liste todos os elementos do espaço amostral deste experimento, epsecificando os valores de
e
.
(b) Calcule
.
© Calcule
e
.
(d) Construa a função de distribuição conjunta de
e
.
(e) Calcule
e
(f) Calcule
e
.
(g) Calcule
.
(h) Verifique se
e
são independentes.
(a) Liste todos os elementos do espaço amostral deste experimento, epsecificando os valores de
(b) Calcule
© Calcule
(d) Construa a função de distribuição conjunta de
(e) Calcule
(f) Calcule
(g) Calcule
(h) Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos lá: a questão é sobre 4 lançamentos de uma moeda honesta. Definimos
-
= número de caras nos 2 primeiros lançamentos, -
= número de caras nos 3 últimos lançamentos.
Aí formamos
O conteúdo que a gente vai usar inclui: variáveis binomiais, cálculo de esperança e variância, covariância e correlação, mudança de variáveis para distribuição conjunta e teste de independência.
Passo 2
(a) Espaço amostral e valores de
e
Cada sequência é um vetor
, onde
(Cara ou Coroa). São 16 possibilidades. Vou listar resumido indicando
. Lembre que
-
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
: -
:
Passo 3
(b)
Teoria: se
, então
Aqui
, logo
E
, então
Passo 4
© e
Como
e
(
se o i-ésimo é cara), e as tosses são independentes, só
fica em comum. Usando linearidade de covariância:
E , ou seja
Passo 5
(d) Distribuição conjunta de
Fazemos a transformação inversa:
Logo
desde que
e
sejam pares e
.
Como já conhecemos da soma dos casos do passo (a), basta mapear para
. Por exemplo:
Como já conhecemos
- Se
, então e . - Se
, então e .
E assim por diante, preenchendo todos os pares válidos.
Passo 6
(e)
e
Como
, usando linearidade e independência parcial:
Passo 7
(f)
e
Aqui
, então
Passo 8
(g)
Passo 9
(h) Independência de
e
Como , já basta para concluir que
e
não são independentes (independência implicaria covariância zero).
Resposta
(a) Listei os 16 resultados com
.
(b)
©
(d) para as combinações de paridade válidas, extraído do passo (a).
(e)
(f)
(g)
(h) Não são independentes.
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) Não são independentes.