Suponha que a função geradora de momentos de um vetor aleatório (X, Y) seja dada por P(X=0, Y=0). Qual é ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função geradora de momentos de MX,Y(t1,t2) ;=; exp!l[,3e^t1 ;+;5e^t2;-;8r] é
O conteúdo aqui é distribuição de Poisson e função geradora de momentos (MGF). Vamos precisar lembrar da forma da MGF de uma Poisson e usar independência para achar .

Passo 2

Teoria básica: se MX(t)=E[e^tX]=exp!l[lambda(e^t-1)r] , a MGF é
3e^t1+5e^t2-8 =;3l(e^t1-1r);+;5l(e^t2-1r)
No nosso caso dá pra reorganizar o expoente:
Isso é exatamente a soma de duas MGFs de Poisson, uma com (pra ) e outra com (pra ). Concluímos que
e , e são independentes.

Passo 3

Como são independentes,
P(X=0,Y=0)=P(X=0),P(Y=0)
E para Poisson( P(X=0)=e^-lambdalambda^00!=e^-lambda ),
P(X=0)=e^-3, P(Y=0)=e^-5,
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P(X=0,Y=0)=e^-3times e^-5=e^-8
e

Resposta

boxedP(X=0,Y=0)=e^-8

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