Suponha que a função geradora de momentos de um vetor aleatório
seja dada por
. Qual é
?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a função geradora de momentos de
é
O conteúdo aqui é distribuição de Poisson e função geradora de momentos (MGF). Vamos precisar lembrar da forma da MGF de uma Poisson e usar independência para achar
.
Passo 2
Teoria básica: se
, a MGF é
No nosso caso dá pra reorganizar o expoente:
Isso é exatamente a soma de duas MGFs de Poisson, uma com
(pra
) e outra com
(pra
). Concluímos que
e
, e são independentes.
Passo 3
Como são independentes,
E para Poisson(
),
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e