Uma moeda é jogada 10 vezes, e cada jogada pode resultar cara ou coroa. Quantos são os resultados:
Que contêm exatamente 2 caras?
Que contêm exatamente 2 caras?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- São feitas
jogadas de uma moeda; cada jogada tem duas possibilidades: cara ou coroa. - Pergunta: quantos resultados (sequências de
faces) contêm exatamente caras?
Passo 2
Modelagem do problema (ideia básica): cada resultado é uma sequência de comprimento
formada por “cara” (C) ou “coroa” (K). Uma sequência com exatamente
caras é completamente determinada pelas posições (índices) onde aparecem essas
caras entre as
posições. Assim, contar sequências com exatamente
caras é o mesmo que contar de quantas maneiras diferentes podemos escolher
posições entre as
.
Passo 3
Tradução para um objeto combinatório: o número de maneiras de escolher
posições dentre
sem considerar ordem é o coeficiente binomial
Explicando o que isso significa:
conta o número de subconjuntos de tamanho
que podem ser formados a partir de um conjunto de
elementos (aqui, as
posições). A ordem das posições escolhidas não importa (escolher as posições
e
é a mesma escolha que
e
).
Passo 4
Fórmula para o coeficiente binomial e significado das variáveis: para inteiros
,
onde
(fatorial de
) é definido por
Aqui
é o número total de itens (
) e
é o número a escolher (
). A fórmula divide o número de arranjos ordenados pelo número de ordens equivalentes entre as escolhas.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Agora simplificamos o fatorial usando que
. Assim
Calculando:
Passo 6
Pequeno exemplo ilustrativo para fixar a ideia: se tivéssemos
jogadas e quiséssemos exatamente
caras, teríamos
sequências: (C,C,K), (C,K,C), (K,C,C). A mesma lógica vale para
jogadas, só que com mais posições — o número resultante é
.