Uma moeda é jogada 10 vezes, e cada jogada pode resultar cara ou coroa. Quantos são os resultados:
Que contêm exatamente 2 caras?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • São feitas 10 jogadas de uma moeda; cada jogada tem duas possibilidades: cara ou coroa.
  • Pergunta: quantos resultados (sequências de 10 faces) contêm exatamente 2 caras?

Passo 2

Modelagem do problema (ideia básica): cada resultado é uma sequência de comprimento 10 formada por “cara” (C) ou “coroa” (K). Uma sequência com exatamente 2 caras é completamente determinada pelas posições (índices) onde aparecem essas 2 caras entre as 10 posições. Assim, contar sequências com exatamente 2 caras é o mesmo que contar de quantas maneiras diferentes podemos escolher 2 posições entre as 10.

Passo 3

Tradução para um objeto combinatório: o número de maneiras de escolher 2 posições dentre 10 sem considerar ordem é o coeficiente binomial
\binom{10}{2}.
Explicando o que isso significa: \binom{10}{2} conta o número de subconjuntos de tamanho 2 que podem ser formados a partir de um conjunto de 10 elementos (aqui, as 10 posições). A ordem das posições escolhidas não importa (escolher as posições 1 e 3 é a mesma escolha que 3 e 1).

Passo 4

Fórmula para o coeficiente binomial e significado das variáveis: para inteiros n\ge k,
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é definido por
n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 2\cdot1.
Aqui n é o número total de itens ( n=10) e k é o número a escolher ( k=2). A fórmula divide o número de arranjos ordenados pelo número de ordens equivalentes entre as escolhas.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
\binom{10}{2}=\frac{10!}{2!\,8!}.
Agora simplificamos o fatorial usando que 10!=10\cdot9\cdot8!. Assim
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9\cdot8!}{2!\,8!}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}.
Calculando:
\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=\frac{90}{2}=45.

Passo 6

Pequeno exemplo ilustrativo para fixar a ideia: se tivéssemos 3 jogadas e quiséssemos exatamente 2 caras, teríamos \binom{3}{2}=\dfrac{3!}{2!1!}=3 sequências: (C,C,K), (C,K,C), (K,C,C). A mesma lógica vale para 10 jogadas, só que com mais posições — o número resultante é 45.

Resposta

45

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