Seja o espaço vetorial R^3. Verifique se os vetores v1=(1,2,3), v2=(0,1,1) e v3=(1,1,0) formam uma base de R^3. Justifique sua resposta.

Passo 1

E aí, vamos lá! O enunciado pede para verificar se, no espaço vetorial R^3, os vetores
v1=(1,2,3), v2=(0,1,1), v3=(1,1,0)
formam uma base. O conteúdo aqui é teoria de base, independência linear e dimensão. Para resolver, a gente vai precisar testar se esses três vetores são linearmente independentes (e daí, por terem cardinalidade igual à dimensão, já garantem que geram todo R^3).

Passo 2

O que é uma base em R^3?
  1. É um conjunto de vetores linearmente independentes.
  2. Gera todo o espaço (ou seja, qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como combinação linear desses vetores).
    Em R^3, se você mostra que 3 vetores são linearmente independentes, automaticamente eles geram o espaço todo (pois a dimensão é 3). Então basta testar a independência linear.

Passo 3

Para testar independência linear, montamos a combinação linear nula:
alpha,v1 + beta,v2 + gamma,v3 = (0,0,0)
Isso dá o sistema componente a componente:
1) 1ª componente:
alphacdot1 + betacdot0 + gammacdot1 = 0 ;;Longrightarrow;; alpha + gamma = 0
  1. 2ª componente:
alphacdot2 + betacdot1 + gammacdot1 = 0 ;;Longrightarrow;; 2alpha + beta + gamma = 0
3) 3ª componente:
alphacdot3 + betacdot1 + gammacdot0 = 0 ;;Longrightarrow;; 3alpha + beta = 0
Agora, vamos resolver passo a passo:
  • Da 3ª equação, 3alpha + beta = 0 implies beta = -3alpha.
  • Da 1ª equação, alpha + gamma = 0 implies gamma = -alpha.
  • Substituindo beta=-3alpha e gamma=-alpha na 2ª equação: 2alpha + (-3alpha) + (-alpha) = 2alpha -3alpha -alpha = -2alpha = 0 implies alpha = 0
    - Logo alpha=0implies beta=-3cdot0=0 e gamma=-0=0.
Como a única solução é alpha=beta=gamma=0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Já que coletivamente são 3 vetores independentes em um espaço de dimensão 3, eles também geram todo R^3. Portanto, satisfazem os dois requisitos de uma base.

Resposta

Sim, v1,v2,v3 formam uma base de R^3, pois são linearmente independentes e, por terem três vetores em R^3, geram o espaço todo.

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