Seja o espaço vetorial
. Verifique se os vetores
,
e
formam uma base de
. Justifique sua resposta.
Passo 1
E aí, vamos lá! O enunciado pede para verificar se, no espaço vetorial
, os vetores
formam uma base. O conteúdo aqui é teoria de base, independência linear e dimensão. Para resolver, a gente vai precisar testar se esses três vetores são linearmente independentes (e daí, por terem cardinalidade igual à dimensão, já garantem que geram todo
Passo 2
O que é uma base em
?
- É um conjunto de vetores linearmente independentes.
- Gera todo o espaço (ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como combinação linear desses vetores).
Em, se você mostra que 3 vetores são linearmente independentes, automaticamente eles geram o espaço todo (pois a dimensão é 3). Então basta testar a independência linear.
Passo 3
Para testar independência linear, montamos a combinação linear nula:
Isso dá o sistema componente a componente:
1) 1ª componente:
- 2ª componente:
3) 3ª componente:
Agora, vamos resolver passo a passo:
- Da 3ª equação,
. - Da 1ª equação,
. - Substituindo
e na 2ª equação:
- Logoe .
Como a única solução é
, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Já que coletivamente são 3 vetores independentes em um espaço de dimensão 3, eles também geram todo
. Portanto, satisfazem os dois requisitos de uma base.
Resposta
Sim,
formam uma base de
, pois são linearmente independentes e, por terem três vetores em
, geram o espaço todo.