Qual o número mínimo de jogadas que um jogador de dados deve fazer para lhe ser interessante apostar
na sena dupla?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pergunta: qual o número mínimo de jogadas de dois dados (cada jogada é um par de dados) pra que valha a pena apostar na “sena dupla” (ou seja, tirar 6 em ambos os dados ao menos uma vez). Isso é um problema de Probabilidade bem básico: a matéria é probabilidade de eventos compostos e complementar. A gente vai precisar saber:
  • Probabilidade de “sucesso” num evento (tirar dupla de 6)
  • Como calcular a probabilidade de ocorrer pelo menos um sucesso em várias tentativas independentes
  • Resolver uma desigualdade pra achar o mínimo

Passo 2

Primeiro, qual a probabilidade de tirar dupla de 6 em uma jogada só? São 36 faces possíveis (6×6) e só 1 jeito de sair (6,6). Então
p = 136

Passo 3

Agora, pra P(nenhum sucesso em n)= (1-p)^n = l(tfrac3536r)^n jogadas independentes, a probabilidade de nunca sair a dupla 6 é o “complemento” do sucesso em cada jogada elevado a :

Passo 4

Queremos que apostar seja “interessante”, ou seja, que a chance de tirar ao menos uma dupla 6 seja pelo menos 50%. Então:
P(pelo menos 1 sucesso) = 1 - l(tfrac3536r)^n >= 0.5

Passo 5

Basta resolver essa desigualdade:
  1. Passo pra isolar 1 - l(tfrac3536r)^n >= 0.5 Longrightarrow l(tfrac3536r)^n <= 0.5 :
n ,ln!l(tfrac3536r) <= ln(0.5)
  1. Aplicar logaritmo dos dois lados:
n >= ln(0.5)ln(35/36)
Como , ao dividir a desigualdade por ele, invertemos o sinal:

Passo 6

Calcular numericamente:
n >= ln(0.5)ln(35/36) approx -0.6931-0.02817 approx 24.6
Como precisar ser um número inteiro de jogadas, a gente arredonda pra cima:

Resposta

O jogador precisa fazer 25 jogadas para ter pelo menos 50% de chance de conseguir uma dupla de 6.

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