Uma moeda é lançada até aparecerem duas caras ou quatro coroas. Ache o número esperado de lançamento, supondo:
a) p(c)=0,25

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma moeda que dá cara com probabilidade p(c)=0,25 e coroa com p(coroa)=0,75. O jogo acaba assim que saem 2 caras (metemos stop) ou 4 coroas. A pergunta é: qual o número esperado de lançamentos até parar?
Conteúdo principal: esperança de tempo de parada, usando equações de recorrência (é quase uma cadeia de Markov absorvente). Vamos modelar o “estado” como o par (i,j) de quantas caras e quantas coroas já saíram, e escrever E(i,j) para o número esperado de lançamentos a partir daí.

Passo 2

Primeiro, a teoria básica: se você está em um estado qualquer e faz um lançamento, em média você faz “1” passo mais o valor esperado do próximo estado. Em símbolos,
E(i,j) = 1 + p(c),E(i+1,j) ;+; p(coroa),E(i,j+1)
Também temos condições de parada (absorção):
- Se i=2 (duas caras já saíram), o jogo para logo, então E(2,j)=0.
- Se j=4 (quatro coroas já saíram), também pára, então E(i,4)=0.

Passo 3

Vamos listar só os estados que realmente precisamos (aqueles antes de parar) e montar as equações:
  1. Estado (1,3):
    E(1,3)=1 + 0,25,E(2,3) + 0,75,E(1,4) = 1 + 0,25cdot 0 + 0,75cdot 0 = 1
  2. Estado (1,2):
    E(1,2)=1 + 0,25,E(2,2) + 0,75,E(1,3) = 1 + 0 + 0,75,E(1,3)
  3. Estado (1,1):
    E(1,1)=1 + 0,25,E(2,1) + 0,75,E(1,2) = 1 + 0 + 0,75,E(1,2)
  4. Estado (1,0):
    E(1,0)=1 + 0,25,E(2,0) + 0,75,E(1,1) = 1 + 0 + 0,75,E(1,1)
  5. Estado (0,3):
    E(0,3)=1 + 0,25,E(1,3) + 0,75,E(0,4) = 1 + 0,25,E(1,3) + 0 = 1 + 0,25,1
  6. Estado (0,2):
    E(0,2)=1 + 0,25,E(1,2) + 0,75,E(0,3)
  7. Estado (0,1):
    E(0,1)=1 + 0,25,E(1,1) + 0,75,E(0,2)
  8. Estado (0,0) (o início):
    E(0,0)=1 + 0,25,E(1,0) + 0,75,E(0,1)

Passo 4

Agora a gente resolve de trás pra frente, substituindo:
  1. E(1,3)=1.
  2. E(1,2)=1 + 0,75cdot1 = 1,75.
  3. E(1,1)=1 + 0,75cdot1,75 = 1 + 1,3125 = 2,3125.
  4. E(1,0)=1 + 0,75cdot2,3125 = 1 + 1,734375 = 2,734375.
  5. E(0,3)=1 + 0,25cdot1 = 1,25.
  6. E(0,2)=1 + 0,25cdot1,75 + 0,75cdot1,25 = 1 + 0,4375 + 0,9375 = 2,375.
  7. E(0,1)=1 + 0,25cdot2,3125 + 0,75cdot2,375 = 1 + 0,578125 + 1,78125 = 3,359375.
  8. Finalmente, E(0,0)=1 + 0,25cdot2,734375 + 0,75cdot3,359375 = 1 + 0,68359375 + 2,51953125 = 4,203125

Resposta

O número esperado de lançamentos até sair 2 caras ou 4 coroas, com p(c)=0,25, é
boxedE = 4,203125(aproximadamente)
ou, em forma de fração, E = tfrac26964approx4,203125,.

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