Uma moeda é lançada até aparecerem duas caras ou quatro coroas. Ache o número esperado de lançamento, supondo:
a)
a)
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma moeda que dá cara com probabilidade
e coroa com
. O jogo acaba assim que saem 2 caras (metemos stop) ou 4 coroas. A pergunta é: qual o número esperado de lançamentos até parar?
Conteúdo principal: esperança de tempo de parada, usando equações de recorrência (é quase uma cadeia de Markov absorvente). Vamos modelar o “estado” como o par de quantas caras e quantas coroas já saíram, e escrever
para o número esperado de lançamentos a partir daí.
Conteúdo principal: esperança de tempo de parada, usando equações de recorrência (é quase uma cadeia de Markov absorvente). Vamos modelar o “estado” como o par
Passo 2
Primeiro, a teoria básica: se você está em um estado qualquer e faz um lançamento, em média você faz “1” passo mais o valor esperado do próximo estado. Em símbolos,
Também temos condições de parada (absorção):
- Se
- Se
Passo 3
Vamos listar só os estados que realmente precisamos (aqueles antes de parar) e montar as equações:
-
Estado
: -
Estado
: -
Estado
: -
Estado
: -
Estado
: -
Estado
: -
Estado
: -
Estado
(o início):
Passo 4
Agora a gente resolve de trás pra frente, substituindo:
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. - Finalmente,
Resposta
O número esperado de lançamentos até sair 2 caras ou 4 coroas, com
, é
ou, em forma de fração,