Uma moeda é lançada 3 vezes. Considere as variáveis aleatórias X e Y , onde X assume 0 ou 1, se uma cara ou se uma coroa ocorre no primeiro lançamento, respectivamente e Y é o número de caras que ocorre nos 3 lançamentos.
a) Determine a função de probabilidade conjunta de Xe Y .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e revisar o que precisamos.
Enunciado: lançamos uma moeda 3 vezes. Definimos duas v.a. discretas:
  • X = 0 se no primeiro lançamento saiu cara, X = 1 se saiu coroa.
  • Y = número total de caras nos 3 lançamentos.
Queremos a função de probabilidade conjunta pX,Y(x,y)=P(X=x,;Y=y);
Isso envolve:
  1. Noções de probabilidade para eventos independentes (lançamentos independentes).
  2. Binomial condicional: dado o resultado do primeiro lançamento (que fixa X), o número de caras nos outros 2 lançamentos segue uma Binomial(2,½).

Passo 2

Primeiro, note que
P(X=0)=P(primeiro é cara)=tfrac12, P(X=1)=tfrac12é
Depois, dado X, os lançamentos 2 e 3 são independentes e cada um tem probabilidade ½ de dar cara. Assim o número de caras nos lançamentos 2 e 3 é Binomial com parâmetros n=2 e p=tfrac12.

Passo 3

Vamos achar pX,Y(0,y)=P(X=0,;Y=y).
Se X=0, o primeiro lançamento foi cara, então já temos 1 cara. Para totalizar y caras em 3 lançamentos, precisamos ter y-1 caras nos lançamentos 2 e 3.
A probabilidade de exatamente k caras em 2 lançamentos é
binom2kl(tfrac12r)^kl(tfrac12r)^2-k=binom2ktfrac14
Logo, para y=1,2,3 (pois já temos 1 cara no primeiro):
$$p_{X,Y}(0,y)
=P(X=0)\times P( pX,Y(0,y) =P(X=0)times P($y-1$ caras em 2 e 3) =tfrac12;binom2y-1tfrac14 =binom2y-1tfrac18, caras em 2 e 3)
=\tfrac12;\binom{2}{y-1}\tfrac1{4}
=\binom{2}{y-1}\tfrac1{8},. $$
Fora desses y, vale zero.

Passo 4

Agora pX,Y(1,y)=P(X=1,;Y=y).
Se X=1, o primeiro lançamento foi coroa e não contribui para Y. Então Y=y significa y caras nos lançamentos 2 e 3, com y=0,1,2.
Usamos a mesma Binomial(2,½):
pX,Y(1,y) =P(X=1)times P($y$ caras em 2 e 3) =tfrac12;binom2ytfrac14 =binom2ytfrac18,,
para y=0,1,2, e zero caso contrário.

Passo 5

Resumindo em um só fórmula geral:
pX,Y(x,y)= binom2y-1,tfrac18,&x=0,;yin1,2,3,[6pt] binom2y,tfrac18,&x=1,;yin0,1,2,[3pt] 0,&caso contrário á

Resposta

pX,Y(x,y)= binom2y-1,tfrac18,&x=0,;yin1,2,3,[6pt] binom2y,tfrac18,&x=1,;yin0,1,2,[3pt] 0,&outros (x,y)

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