Uma moeda é lançada 3 vezes. Considere as variáveis aleatórias X e Y , onde X assume 0 ou 1, se uma cara ou se uma coroa ocorre no primeiro lançamento, respectivamente e Y é o número de caras que ocorre nos 3 lançamentos.
a) Determine a função de probabilidade conjunta de Xe Y .
a) Determine a função de probabilidade conjunta de Xe Y .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e revisar o que precisamos.
Enunciado: lançamos uma moeda 3 vezes. Definimos duas v.a. discretas:
Enunciado: lançamos uma moeda 3 vezes. Definimos duas v.a. discretas:
- X = 0 se no primeiro lançamento saiu cara, X = 1 se saiu coroa.
- Y = número total de caras nos 3 lançamentos.
Queremos a função de probabilidade conjunta
Isso envolve:
- Noções de probabilidade para eventos independentes (lançamentos independentes).
- Binomial condicional: dado o resultado do primeiro lançamento (que fixa X), o número de caras nos outros 2 lançamentos segue uma Binomial(2,½).
Passo 2
Primeiro, note que
Depois, dado X, os lançamentos 2 e 3 são independentes e cada um tem probabilidade ½ de dar cara. Assim o número de caras nos lançamentos 2 e 3 é Binomial com parâmetros
Passo 3
Vamos achar
.
Se , o primeiro lançamento foi cara, então já temos 1 cara. Para totalizar
caras em 3 lançamentos, precisamos ter
caras nos lançamentos 2 e 3.
A probabilidade de exatamente caras em 2 lançamentos é
Se
A probabilidade de exatamente
Logo, para
$$p_{X,Y}(0,y)
=P(X=0)\times P(
caras em 2 e 3)
=\tfrac12;\binom{2}{y-1}\tfrac1{4}
=\tfrac12;\binom{2}{y-1}\tfrac1{4}
=\binom{2}{y-1}\tfrac1{8},. $$
Fora desses , vale zero.
Fora desses
Passo 4
Agora
.
Se , o primeiro lançamento foi coroa e não contribui para Y. Então
significa
caras nos lançamentos 2 e 3, com
.
Usamos a mesma Binomial(2,½):
Se
Usamos a mesma Binomial(2,½):
para
, e zero caso contrário.
Passo 5
Resumindo em um só fórmula geral: