Suponha uma distribuição conjunta de probabilidade P(X=x, Y=y) dada por p(x, y)= c(x+y) para X=1,2,3 e Y=1,2,3, onde c é uma constante.
a) Ache o valor da constante c e construa a tabela da função de probabilidade conjunta de XeY.

Passo 1

Então, o exercício diz que a gente tem uma distribuição conjunta discreta de duas variáveis X e Y, com
p(x,y)=c,(x+y)
para e .
Conteúdo: probabilidade discreta e condição de normalização (a soma de todas as probabilidades tem que dar 1).
O que a gente vai precisar:
  • Entender que .
  • Calcular essa soma em função de .
  • Isolar e depois montar a tabela de .

Passo 2

Escrevendo a condição de normalização:
sumx=1^3sumy=1^3 p(x,y) ;=; sumx=1^3sumy=1^3 c,(x+y) ;=; 1
Como c ;sumx=1^3sumy=1^3 (x+y) ;=; 1 é constante, a gente tira ele fora da soma:

Passo 3

Agora vamos calcular sumx=1^3sumy=1^3 (x+y) =sumx=1^3sumy=1^3 x ;+;sumx=1^3sumy=1^3 y .
A gente pode separar:

  1. Logo,

Passo 4

Voltando à normalização:
c times 36 = 1 longrightarrow c = 136

Passo 5

Com p(x,y) = x+y36, x,yin1,2,3 , cada entrada da tabela é
Montando a tabelinha (linhas = X, colunas = Y):
   Y=1      Y=2      Y=3  
X=1
X=2
X=3
Você pode simplificar as frações se quiser (por exemplo, , , etc.).

Resposta

c =
Tabela de :
x\y 1 2 3
1 2/36 3/36 4/36
2 3/36 4/36 5/36
3 4/36 5/36 6/36

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