Uma moeda é lançada 3 vezes. Considere as variáveis aleatórias X e Y , onde X assume 0 ou 1, se uma cara ou se uma coroa ocorre no primeiro lançamento, respectivamente e Y é o número de caras que ocorre nos 3 lançamentos.
b) Determine as distribuições marginais de Xe Y .
b) Determine as distribuições marginais de Xe Y .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente lança uma moeda 3 vezes e define duas variáveis aleatórias:
- X = 0 se sai CARA no 1º lançamento, X = 1 se sai COROA no 1º lançamento.
- Y = número de CARAS nos 3 lançamentos.
O que a gente precisa é encontrar as distribuições marginais de X e de Y (ou seja, as probabilidades de cada valor que X pode assumir, e cada valor que Y pode assumir). Isso é parte de Probabilidade básica e envolve entender que cada sequência de lançamentos tem probabilidade igual e contar quantas sequências geram cada valor de X ou de Y.
Passo 2
Vamos começar por X.
- Teoria: a marginal de X,
, é a probabilidade de X assumir cada valor, independentemente de Y. - No nosso caso, só importa o 1º lançamento. Uma moeda honesta tem ½ de chance de dar cara e ½ de dar coroa.
- Logo:
Passo 3
Agora é a vez de Y, que conta quantas caras saem nos 3 lançamentos.
- Teoria: cada uma das
sequências (CCC, CCI, CIC, …) vale . O número de sequências que têm exatamente caras é . - Então
- Calculando para cada
:
-
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Resposta
Distribuição marginal de X:
Distribuição marginal de Y:
isto é