Uma moeda é lançada 3 vezes. Considere as variáveis aleatórias X e Y , onde X assume 0 ou 1, se uma cara ou se uma coroa ocorre no primeiro lançamento, respectivamente e Y é o número de caras que ocorre nos 3 lançamentos.
b) Determine as distribuições marginais de Xe Y .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente lança uma moeda 3 vezes e define duas variáveis aleatórias:
  • X = 0 se sai CARA no 1º lançamento, X = 1 se sai COROA no 1º lançamento.
  • Y = número de CARAS nos 3 lançamentos.
    O que a gente precisa é encontrar as distribuições marginais de X e de Y (ou seja, as probabilidades de cada valor que X pode assumir, e cada valor que Y pode assumir). Isso é parte de Probabilidade básica e envolve entender que cada sequência de lançamentos tem probabilidade igual e contar quantas sequências geram cada valor de X ou de Y.

Passo 2

Vamos começar por X.
  1. Teoria: a marginal de X, pX(0) = P(CARA no 1º lançamento) = tfrac12, , é a probabilidade de X assumir cada valor, independentemente de Y.
  2. No nosso caso, só importa o 1º lançamento. Uma moeda honesta tem ½ de chance de dar cara e ½ de dar coroa.
  3. Logo:
pX(1) = P(COROA no 1º lançamento) = tfrac12 ºç
ºç

Passo 3

Agora é a vez de Y, que conta quantas caras saem nos 3 lançamentos.
  1. Teoria: cada uma das pY(y) ;=; P(Y=y) ;=; binom3y8 ;=;binom3y,l(tfrac12r)^3 sequências (CCC, CCI, CIC, …) vale . O número de sequências que têm exatamente caras é .
  2. Então
  1. Calculando para cada :
  • : , logo .
  • : , logo .
  • : , logo .
  • : , logo .

Resposta

Distribuição marginal de X:
pX(0) = tfrac12, pX(1) = tfrac12
Distribuição marginal de Y:
pY(y) = binom3y,l(tfrac12r)^3, y = 0,1,2,3,
isto é
pY(0)=tfrac18,; pY(1)=tfrac38,; pY(2)=tfrac38,; pY(3)=tfrac18

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