Suponha uma distribuição conjunta de probabilidade
dada por
para
e
, onde
é uma constante.
b) Determine as distribuições marginais de Xe Y .
b) Determine as distribuições marginais de Xe Y .
Passo 1
Beleza, mano! O enunciado pede pra gente achar as distribuições marginais de X e de Y, sabendo que a distribuição conjunta é
Estamos em Probabilidade discreta, mais especificamente lidando com distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias e o processo de marginalização. Para fazer isso, vamos precisar:
- Achar a constante de normalização
(porque toda distribuição tem que somar 1). - Usar a definição de distribuição marginal:
Passo 2
Primeiro, garantimos que a soma de todas as chances é 1:
Vamos quebrar essa soma:
Agora:
logo a soma é
.
Como isso tem que valer 1 quando multiplicado por , temos
Como isso tem que valer 1 quando multiplicado por
Passo 3
Agora calculamos a marginal de
, que é
Dentro da soma,
. Então
Se você quiser ver os valores:
-
, -
, -
Passo 4
Do mesmo jeito, para
:
Agora
. Logo
Os valores ficam:
-
, -
, -
Resposta
As distribuições marginais são