Suponha uma distribuição conjunta de probabilidade P(X=x, Y=y) dada por p(x, y)= c(x+y) para X=1,2,3 e Y=1,2,3, onde c é uma constante.
b) Determine as distribuições marginais de Xe Y .

Passo 1

Beleza, mano! O enunciado pede pra gente achar as distribuições marginais de X e de Y, sabendo que a distribuição conjunta é
p(x,y)=c,(x+y), x,yin1,2,3
Estamos em Probabilidade discreta, mais especificamente lidando com distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias e o processo de marginalização. Para fazer isso, vamos precisar:
  1. Achar a constante de normalização pX(x)=sumyp(x,y), pY(y)=sumxp(x,y) (porque toda distribuição tem que somar 1).
  2. Usar a definição de distribuição marginal:

Passo 2

Primeiro, garantimos que a soma de todas as chances é 1:
sumx=1^3sumy=1^3p(x,y) = sumx=1^3sumy=1^3c,(x+y) = csumx=1^3sumy=1^3(x+y)
Vamos quebrar essa soma:
sumx=1^3sumy=1^3(x+y) = sumx=1^3l(sumy=1^3x + sumy=1^3yr) = sumx=1^3(3x + (1+2+3)) = sumx=1^3(3x + 6)
Agora:
sumx=1^33x =3(1+2+3)=3cdot6=18, sumx=1^36 = 3cdot6=18,
logo a soma é ccdot 36 = 1 ;Longrightarrow; c = 136 .
Como isso tem que valer 1 quando multiplicado por , temos

Passo 3

Agora calculamos a marginal de pX(x) = sumy=1^3 p(x,y) = sumy=1^3 136(x+y) = 136 sumy=1^3(x+y) , que é
pX(x) = 3x + 636 = 3(x+2)36 = x+212
Dentro da soma, . Então
Se você quiser ver os valores:
  • ,
  • ,

Passo 4

Do mesmo jeito, para pY(y) = sumx=1^3 p(x,y) = sumx=1^3 136(x+y) = 136sumx=1^3(x+y) :
pY(y) = 6+3y36 = 3(y+2)36 = y+212
Agora . Logo
Os valores ficam:
  • ,
  • ,

Resposta

As distribuições marginais são
boxed pX(x)=x+212,;x=1,2,3 e pY(y)=y+212,;y=1,2,3

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