Seja um lote contendo 7 peças não defeituosas e 3 peças defeituosas. Uma amostra de 2 peças deste lote é selecionada sem reposição. Seja X o número de peças não defeituosas na amostra e Y o número de peças defeituosas na amostra.
b) Determine as distribuições marginais de Xe Y .

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o problema pede. Temos um lote com 7 peças não defeituosas (chamamos de “sucesso”) e 3 defeituosas (chamamos de “fracasso”). Tiramos uma amostra de tamanho 2 sem reposição. Definimos X = número de peças não defeituosas na amostra e Y = número de peças defeituosas na amostra.
Conteúdo: distribuição hipergeométrica e conceito de distribuição marginal.
O que vamos usar:
  • Fórmula da hipergeométrica
  • Definição de distribuição marginal, que é a soma das probabilidades conjuntas sobre o outro variável.

Passo 2

Calcular a distribuição marginal de X.
Teoria: para a hipergeométrica, se retiramos n objetos de população total N com K sucessos, a probabilidade de obter exatamente k sucessos é
P(X = k) = binomKk,binomN-K,n-k,binomNn,
Aqui N=10, K=7, n=2. Então k só pode ser 0, 1 ou 2.
Para cada k:
P(X=k) = binom7k,binom32-kbinom102,
Basta calcular:
  • P(X=0) = binom70binom32binom102 = 1cdot345 = tfrac345 = tfrac115.
  • P(X=1) = binom71binom31binom102 = 7cdot345 = tfrac2145 = tfrac715.
  • P(X=2) = binom72binom30binom102 = 21cdot145 = tfrac2145 = tfrac715.

Passo 3

Calcular a distribuição marginal de Y.
Como Y é o número de defeituosas, basta aplicar a mesma ideia trocando K por 3 defeituosas. Ou usar que Y = 2 – X. Usando a fórmula hipergeométrica:
P(Y = y) = binom3y,binom72-ybinom102,, y=0,1,2
Calculando:
- P(Y=0) = binom30binom7245 = 1cdot2145 = tfrac2145 = tfrac715.
- P(Y=1) = binom31binom7145 = 3cdot745 = tfrac2145 = tfrac715.
- P(Y=2) = binom32binom7045 = 3cdot145 = tfrac345 = tfrac115.

Resposta

Distribuição marginal de X:
P(X=0)=tfrac115, P(X=1)=tfrac715, P(X=2)=tfrac715
Distribuição marginal de Y:
P(Y=0)=tfrac715, P(Y=1)=tfrac715, P(Y=2)=tfrac115

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