Seja um lote contendo 7 peças não defeituosas e 3 peças defeituosas. Uma amostra de 2 peças deste lote é selecionada sem reposição. Seja X o número de peças não defeituosas na amostra e Y o número de peças defeituosas na amostra.
b) Determine as distribuições marginais de Xe Y .
b) Determine as distribuições marginais de Xe Y .
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o problema pede. Temos um lote com 7 peças não defeituosas (chamamos de “sucesso”) e 3 defeituosas (chamamos de “fracasso”). Tiramos uma amostra de tamanho 2 sem reposição. Definimos X = número de peças não defeituosas na amostra e Y = número de peças defeituosas na amostra.
Conteúdo: distribuição hipergeométrica e conceito de distribuição marginal.
O que vamos usar:
Conteúdo: distribuição hipergeométrica e conceito de distribuição marginal.
O que vamos usar:
- Fórmula da hipergeométrica
- Definição de distribuição marginal, que é a soma das probabilidades conjuntas sobre o outro variável.
Passo 2
Calcular a distribuição marginal de X.
Teoria: para a hipergeométrica, se retiramos n objetos de população total N com K sucessos, a probabilidade de obter exatamente k sucessos é
Teoria: para a hipergeométrica, se retiramos n objetos de população total N com K sucessos, a probabilidade de obter exatamente k sucessos é
Aqui N=10, K=7, n=2. Então k só pode ser 0, 1 ou 2.
Para cada k:
Basta calcular:
- P(X=0) =
. - P(X=1) =
. - P(X=2) =
.
Passo 3
Calcular a distribuição marginal de Y.
Como Y é o número de defeituosas, basta aplicar a mesma ideia trocando K por 3 defeituosas. Ou usar que Y = 2 – X. Usando a fórmula hipergeométrica:
Como Y é o número de defeituosas, basta aplicar a mesma ideia trocando K por 3 defeituosas. Ou usar que Y = 2 – X. Usando a fórmula hipergeométrica:
Calculando:
- P(Y=0) =
- P(Y=1) =
- P(Y=2) =
Resposta
Distribuição marginal de X:
Distribuição marginal de Y: