Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de:
a) sair exatamente 1 cara
b) sair pelo menos 1 cara
c) sair no máximo duas caras

Passo 1

O enunciado diz que uma moeda honesta é lançada três vezes, com resultados equiprováveis. Definimos a variável aleatória X como o número de caras obtidas em três lançamentos. Como cada lançamento tem probabilidade p=\tfrac12 de dar cara e são independentes, X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=3 e p=\tfrac12. Vamos usar a fórmula
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
para calcular as probabilidades pedidas.

Passo 2

Para (a) queremos exatamente uma cara, isto é k=1. Usando a fórmula binomial com n=3, k=1 e p=\tfrac12:
P(X=1)=\binom{3}{1}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^1\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3-1} =\binom{3}{1}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^3 =3\cdot\frac{1}{8} =\frac{3}{8}.

Passo 3

Para (b) queremos pelo menos uma cara, isto é X\ge1. É mais fácil usar o complementar X=0:
P(X\ge1)=1-P(X=0) =1-\binom{3}{0}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^3 =1-\frac{1}{8} =\frac{7}{8}.

Passo 4

Para (c) queremos no máximo duas caras, isto é X\le2. Usamos também o complementar X=3:
P(X\le2)=1-P(X=3) =1-\binom{3}{3}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^3 =1-\frac{1}{8} =\frac{7}{8}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{3}{8}
b) \displaystyle \frac{7}{8}
c) \displaystyle \frac{7}{8}

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