Uma moeda não viciada é lançada 500 vezes. Determinar a probabilidade do número de caras não diferir de 250 em:
mais de 10

Passo 1

Enunciado e o que se pede: uma moeda não viciada é lançada \,500, vezes. Pergunta: qual é a probabilidade de que o número de caras não difira de \,250, em mais de \,10,?
Informações dadas relevantes:
\bullet número de lançamentos =\,500.
\bullet moeda não viciada (ou seja, probabilidade de cara em cada lançamento é \,0,5).
\bullet queremos a probabilidade de que o número de caras difira de \,250, em mais de \,10), isto é, que o número de caras seja menor ou igual a \,239, ou maior ou igual a \,261).

Passo 2

Modelagem matemática do problema: defino a variável aleatória X = número de caras em \,500, lançamentos. Como cada lançamento tem probabilidade \,0,5, de dar cara e são lançamentos independentes, X segue uma distribuição binomial com parâmetros \,n e \,p dados por
n = 500,\qquad p = 0,5.
A probabilidade pedida é
\mathbb{P}\big(|X-250|>10\big)=\mathbb{P}(X\le 239)+\mathbb{P}(X\ge 261).
Aqui apenas reescrevi o pedido em termos de X; ainda não calculei nada.

Passo 3

Por que não calcular exatamente com a fórmula da binomial? A fórmula exata envolveria somar probabilidades binomiais muitos termos:
\sum_{k=0}^{239}\binom{500}{k}0{,}5^{k}0{,}5^{500-k} \quad\text{e}\quad \sum_{k=261}^{500}\binom{500}{k}0{,}5^{k}0{,}5^{500-k},
o que é impraticável à mão. Como \,n, é grande ( 500), a maneira usual em prova é aproximar a binomial por uma normal usando o Teorema Central do Limite / aproximação de De Moivre–Laplace. Vou usar essa aproximação porque é simples, precisa aqui e adequada para fazer à mão.

Passo 4

Apresentação da aproximação normal (aula curta): se X\sim\mathrm{Binomial}(n,p), então para n grande podemos aproximar X por uma variável normal Y com média e variância iguais às da binomial:
\mu = \mathbb{E}[X]=np,\qquad \sigma^{2}=\mathrm{Var}(X)=np(1-p).
A regra prática: aproximamos X por Y\sim N(\mu,\sigma^{2}) e, para obter mais precisão, usamos correção de continuidade (explico já). Aqui:
\mu = 500\cdot 0{,}5 = 250,\qquad \sigma^{2} = 500\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5 = 125.
Logo
\sigma = \sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx 11{,}18033989.
Significado: a média esperada de caras é \,250, e a variação típica (desvio-padrão) é cerca de \,11{,}18).

Passo 5

Correção de continuidade e expressão das probabilidades: porque X é discreta (valores inteiros), ao aproximar por uma normal contínua devemos ajustar os limites em meio unidade para melhorar a aproximação. Assim:
\mathbb{P}(X\le 239)\approx \mathbb{P}\big(Y\le 239{,}5\big), \qquad \mathbb{P}(X\ge 261)\approx \mathbb{P}\big(Y\ge 260{,}5\big).
Portanto
\mathbb{P}(|X-250|>10)\approx \mathbb{P}\big(Y\le 239{,}5\big)+\mathbb{P}\big(Y\ge 260{,}5\big).

Passo 6

Padronização para a normal padrão: para calcular probabilidades com Y\sim N(\mu,\sigma^{2}) transformamos para a normal padrão Z\sim N(0,1) usando
Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}.
Calculo os dois quantis padronizados. Para o limite inferior:
z_1=\frac{239{,}5-250}{\sigma}=\frac{-10{,}5}{11{,}18033989}\approx -0{,}939365.
Para o limite superior:
z_2=\frac{260{,}5-250}{\sigma}=\frac{10{,}5}{11{,}18033989}\approx 0{,}939365.
Como a distribuição é simétrica, teremos probabilidades iguais nas duas caudas.

Passo 7

Uso da tabela da normal padrão (ou valores conhecidos) para obter as probabilidades: denoto por \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z). Então
\mathbb{P}(|X-250|>10)\approx \Phi(z_1)+\big(1-\Phi(z_2)\big).
Mas z_1=-z_2, logo por simetria \Phi(z_1)=1-\Phi(z_2) e
\mathbb{P}(|X-250|>10)\approx 2\big(1-\Phi(0{,}939365)\big).
Agora precisamos de \Phi(0{,}939365). Usando tabela da normal padrão e interpolação entre 0{,}93 e 0{,}94: \Phi(0{,}93)\approx 0{,}8231 e \Phi(0{,}94)\approx 0{,}8264. Interpolando para 0{,}939365 obtemos aproximadamente
\Phi(0{,}939365)\approx 0{,}8262.
Assim
1-\Phi(0{,}939365)\approx 0{,}1738,
e multiplicando por 2:
\mathbb{P}(|X-250|>10)\approx 2\cdot 0{,}1738 = 0{,}3476.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida: a resposta significa que, em cerca de 34{,}76\% das repetições de 500 lançamentos, o número de caras vai diferir de 250 por mais de 10. Se não aplicássemos a correção de continuidade obteríamos um valor ligeiramente diferente (por volta de 0{,}373), o que mostra que a correção melhora a aproximação.

Resposta

0,3476 (aproximadamente 34{,}76\%)

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