Uma moeda não viciada é lançada 500 vezes. Determinar a probabilidade do número de caras não diferir de 250 em:
mais de 10
mais de 10
Passo 1
Enunciado e o que se pede: uma moeda não viciada é lançada
, vezes. Pergunta: qual é a probabilidade de que o número de caras não difira de
, em mais de
,?
Informações dadas relevantes:
número de lançamentos
.
moeda não viciada (ou seja, probabilidade de cara em cada lançamento é
).
queremos a probabilidade de que o número de caras difira de
, em mais de
), isto é, que o número de caras seja menor ou igual a
, ou maior ou igual a
).
Informações dadas relevantes:
Passo 2
Modelagem matemática do problema: defino a variável aleatória
= número de caras em
, lançamentos. Como cada lançamento tem probabilidade
, de dar cara e são lançamentos independentes,
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
dados por
A probabilidade pedida é
Aqui apenas reescrevi o pedido em termos de
; ainda não calculei nada.
Passo 3
Por que não calcular exatamente com a fórmula da binomial? A fórmula exata envolveria somar probabilidades binomiais muitos termos:
o que é impraticável à mão. Como
, é grande (
), a maneira usual em prova é aproximar a binomial por uma normal usando o Teorema Central do Limite / aproximação de De Moivre–Laplace. Vou usar essa aproximação porque é simples, precisa aqui e adequada para fazer à mão.
Passo 4
Apresentação da aproximação normal (aula curta): se
, então para
grande podemos aproximar
por uma variável normal
com média e variância iguais às da binomial:
A regra prática: aproximamos
por
e, para obter mais precisão, usamos correção de continuidade (explico já). Aqui:
Logo
Significado: a média esperada de caras é
, e a variação típica (desvio-padrão) é cerca de
).
Passo 5
Correção de continuidade e expressão das probabilidades: porque
é discreta (valores inteiros), ao aproximar por uma normal contínua devemos ajustar os limites em meio unidade para melhorar a aproximação. Assim:
Portanto
Passo 6
Padronização para a normal padrão: para calcular probabilidades com
transformamos para a normal padrão
usando
Calculo os dois quantis padronizados. Para o limite inferior:
Para o limite superior:
Como a distribuição é simétrica, teremos probabilidades iguais nas duas caudas.
Passo 7
Uso da tabela da normal padrão (ou valores conhecidos) para obter as probabilidades: denoto por
. Então
Mas
, logo por simetria
e
Agora precisamos de
. Usando tabela da normal padrão e interpolação entre
e
:
e
. Interpolando para
obtemos aproximadamente
Assim
e multiplicando por
:
Passo 8
Interpretação e verificação rápida: a resposta significa que, em cerca de
das repetições de
lançamentos, o número de caras vai diferir de
por mais de
. Se não aplicássemos a correção de continuidade obteríamos um valor ligeiramente diferente (por volta de
), o que mostra que a correção melhora a aproximação.