Cinco algarismos são escolhidos ao acaso, com reposição, entre os algarismos
,
. Qual a probabilidade de os cinco algarismos serem difrentes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- São os dígitos
(ou seja, dígitos disponíveis). - São escolhidos
algarismos ao acaso, com reposição (cada escolha é independente e sempre há possibilidades). - Pergunta: qual a probabilidade de os cinco algarismos escolhidos serem todos diferentes?
Passo 2
Entendendo o espaço amostral (todas as possibilidades):
- Como cada uma das
escolhas pode ser qualquer um dos dígitos e as escolhas são independentes, o número total de sequências possíveis é
- Explicação curta: pela regra do produto, para cada escolha há
opções, então .
Passo 3
Contando as sequências favoráveis (todas as escolhas diferentes):
- Queremos sequências de comprimento
formadas por dígitos todos distintos. Aqui a ordem importa (por exemplo, é diferente de ), então contamos permutações sem repetição. - A fórmula para escolher
elementos distintos e ordenados dentre é
- Aplicando com
e , o número de sequências favoráveis é
Passo 4
Cálculo numérico do número favorável e da probabilidade em forma de fração:
- Calculando o produto:
- Logo o número de sequências favoráveis é
e o número total é . Assim, a probabilidade pode ser escrita como
Passo 5
Interpretação alternativa (intuitiva) usando probabilidades condicionais:
- A probabilidade de a primeira escolha ser qualquer dígito é
. - Dada a primeira escolha, para a segunda ser diferente temos
. - Para a terceira ser diferente das duas anteriores temos
, e assim por diante. - Multiplicando essas probabilidades:
que coincide com a fração obtida no passo anterior.