Cinco algarismos são escolhidos ao acaso, com reposição, entre os algarismos 0,1,2,3,4, 5,6,7,8,9. Qual a probabilidade de os cinco algarismos serem difrentes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • São os dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (ou seja, 10 dígitos disponíveis).
  • São escolhidos 5 algarismos ao acaso, com reposição (cada escolha é independente e sempre há 10 possibilidades).
  • Pergunta: qual a probabilidade de os cinco algarismos escolhidos serem todos diferentes?

Passo 2

Entendendo o espaço amostral (todas as possibilidades):
  • Como cada uma das 5 escolhas pode ser qualquer um dos 10 dígitos e as escolhas são independentes, o número total de sequências possíveis é
10^5.
  • Explicação curta: pela regra do produto, para cada escolha há 10 opções, então 10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=10^5.

Passo 3

Contando as sequências favoráveis (todas as escolhas diferentes):
  • Queremos sequências de comprimento 5 formadas por dígitos todos distintos. Aqui a ordem importa (por exemplo, 1,2,3,4,5 é diferente de 5,4,3,2,1), então contamos permutações sem repetição.
  • A fórmula para escolher k elementos distintos e ordenados dentre n é
P(n,k)=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1).
  • Aplicando com n=10 e k=5, o número de sequências favoráveis é
10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6.

Passo 4

Cálculo numérico do número favorável e da probabilidade em forma de fração:
  • Calculando o produto:
10\cdot9=90,\qquad 90\cdot8=720,\qquad 720\cdot7=5040,\qquad 5040\cdot6=30240.
  • Logo o número de sequências favoráveis é 30240 e o número total é 10^5=100000. Assim, a probabilidade pode ser escrita como
\frac{30240}{100000}.

Passo 5

Interpretação alternativa (intuitiva) usando probabilidades condicionais:
  • A probabilidade de a primeira escolha ser qualquer dígito é \dfrac{10}{10}.
  • Dada a primeira escolha, para a segunda ser diferente temos \dfrac{9}{10}.
  • Para a terceira ser diferente das duas anteriores temos \dfrac{8}{10}, e assim por diante.
  • Multiplicando essas probabilidades:
\frac{10}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{8}{10}\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{10}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{10^5},
que coincide com a fração obtida no passo anterior.

Resposta

\dfrac{189}{625}\approx0,3024

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