Uma moeda perfeita é lançada 4 vezes. Seja Y o número de caras obtidas. Obtenha a fdp de Y. Repita o problema considerando que a moeda é viciada, sendo a probabilidade de cara dada por p 0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Uma moeda perfeita é lançada 4 vezes. Seja Y o número de caras obtidas. Obtenha a fdp de Y. Depois faça de novo para uma moeda viciada, em que Pr(cara)=p, com 0 e pneqtfrac12.”
Conteúdo: distribuição binomial (variável discreta).
O que precisamos:
  1. Entender que cada sequência de lançamentos tem probabilidade multiplicativa.
  2. Saber calcular combinações: binomnk=n!k!(n-k)!.
  3. Usar a fórmula da binomial: Pr(Y=k)=binomnk,p^k,(1-p)^,n-k

Passo 2

Primeiro, a moeda perfeita significa p=tfrac12. Temos n=4 lançamentos.
Teoria: para cada k caras em 4 lançamentos, existem binom4k sequências que dão exatamente k caras. Cada sequência tem probabilidade (tfrac12)^k,(1-tfrac12)^4-k=(tfrac12)^4=tfrac116.
Logo
Pr(Y=k)=binom4k,l(tfrac12r)^4=binom4k16, k=0,1,2,3,4
Agora é só calcular as combinações:
- binom40=1impliesPr(Y=0)=tfrac116.
- binom41=4impliesPr(Y=1)=tfrac416=tfrac14.
- binom42=6impliesPr(Y=2)=tfrac616=tfrac38.
- binom43=4impliesPr(Y=3)=tfrac416=tfrac14.
- binom44=1impliesPr(Y=4)=tfrac116.

Passo 3

Agora a moeda é viciada: probabilidade de cara p e de coroa 1-p. Mesma ideia binomial com n=4.
Cada sequência com k caras tem probabilidade
p^k,(1-p)^4-k,
binom4k sequências, então
Pr(Y=k)=binom4k,p^k,(1-p)^4-k, k=0,1,2,3,4
Isso é exatamente a distribuição Binomial(n=4,p).

Resposta

Distribuição de Y em ambas as situações:
  1. Moeda perfeita ( p=tfrac12): Pr(Y=k)=binom4k16, k=0,1,2,3,4
    2) Moeda viciada ( 0):
    Pr(Y=k)=binom4k,p^k,(1-p)^4-k, k=0,1,2,3,4

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