Um vendedor de equipamentos pesados pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade de 1 / 3 e 2 / 3, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por 50.000 u m. com probabilidade 1 / 10 ou nenhuma venda, com probabilidade 9 / 10. Indicando por Y o valor total de vendas diárias deste vendedor, escreva a função de probabilidade de Y.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e qual é o conteúdo de probabilidade que a gente vai usar.
Enunciado em miúdos:
  • Num dia, o vendedor visita 1 cliente com probabilidade ou 2 clientes com probabilidade .
  • Cada cliente gera uma venda de u.m. com probabilidade , ou nada com probabilidade .
  • Chamamos de o valor total vendido num dia.
Conteúdo que vamos usar:
  1. Modelagem de variáveis aleatórias (definir quantas vendas ocorrem).
  2. Distribuição Binomial (para contar quantos “sucessos” = vendas ocorrem em visitas).
  3. Lei da Probabilidade Total (para misturar o caso “1 visita” e “2 visitas”).
O que precisamos:
  • Definir o número de visitas .
  • Definir a distribuição de vendas condicionada a .
  • Usar a lei total para obter a função de probabilidade de .

Passo 2

Definindo variáveis e condições:
  • Seja P(N=1)=tfrac13, P(N=2)=tfrac23 o número de clientes visitados num dia. Temos P(X=kmid N=n)=binomnk,p^k,(1-p)^,n-k, k=0,1,dots,n
  • Para cada cliente visitado, a probabilidade de venda (sucesso) vale Y = 50,000 times X . Se houver visitas, o número de vendas segue uma distribuição Binomial , isto é
  • Finalmente, o valor total vendido é

Passo 3

Calcular . Note que só pode assumir valores .
  1. Se , então :
    • , ou seja .
    • , ou seja .
  2. Se , então :
    • , ou seja .
    • , ou seja .
    • , ou seja .

Passo 4

Agora aplicamos a Lei da Probabilidade Total:
P(Y=y) =sumn=1^2 P(N=n),P(Y=ymid N=n)
Calculemos cada caso:
  1. P(Y=0) =P(N=1)cdot0.9 ;+; P(N=2)cdot0.81 =tfrac13cdot0.9 ;+; tfrac23cdot0.81 =0.3 + 0.54 = 0.84 :
    P(Y=50,000) =P(N=1)cdot0.1 + P(N=2)cdot0.18 =tfrac13cdot0.1 + tfrac23cdot0.18 =tfrac130 + tfrac325 =tfrac5+18150 = tfrac23150approx0.1533
  2. P(Y=100,000) =P(N=2)cdot0.01 =tfrac23cdot0.01 =tfrac2300 = tfrac1150approx0.0067 :
  3. :
    Só pode ocorrer se e 2 vendas:

Resposta

A função de probabilidade de P(Y=0)=0.84,[6pt] P(Y=50,000)=dfrac23150approx0.1533,[6pt] P(Y=100,000)=dfrac1150approx0.0067,[4pt] P(Y=y)=0para outros y é

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