Uma variável aleatória tem função de distribuição acumulada dada por
Obtenha a função de probabilidade de X.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória X com função de distribuição acumulada (CDF)
FX(x)= 0, & x<=0, x^5, & 0=1
O que queremos é a “função de probabilidade” de X – aqui, como a CDF é contínua, isso significa achar a densidade de probabilidade .
Conteúdo: CDF e PDF de variáveis contínuas.
O que vamos usar:
A definição de PDF como derivada da CDF,
Regras básicas de derivação.
Passo 2
Teoria básica:
Para variáveis contínuas, a densidade fX(x)=ddxFX(x) é dada por
Isso faz sentido porque a CDF cresce conforme x aumenta, e a “taxa de crescimento” instantânea é justamente a densidade.
Passo 3
Agora vamos derivar peça por peça:
Se ddxx^5 = 5x^4 , . Derivada de constante zero é zero.
Se , . Derivando:
Se , . Novamente é constante, derivada zero.
Resposta
A função densidade (função de probabilidade) de fX(x)= 5x^4, & 0 é