Um fabricante afirma que uma nova liga metálica aumentou a resistência média de 50 MPa . Teste essa afirmação substituindo por hipótese nula \mu=50 \mathrm{MPa} e hipótese alternativa \mu>50 \mathrm{MPa}. Uma amostra de n=20 peças apresentou \bar{x}=53,2 \mathrm{MPa} e s=5,1 \mathrm{MPa}. Use \alpha=0,05.

Passo 1

O enunciado pede que testemos a afirmação do fabricante de que a nova liga aumentou a resistência média em relação a 50 MPa. Formalmente temos:
H_0:\mu=50\\ \text{MPa}
H_1:\mu>50\\ \text{MPa}
Dados fornecidos:
n=20,\quad \bar{x}=53,2\\ \text{MPa},\quad s=5,1\\ \text{MPa},\quad \alpha=0,05.
A pergunta é: com esses dados, há evidência estatística suficiente (ao nível \alpha=0,05) para aceitar a hipótese alternativa \mu>50 (ou seja, rejeitar H_0)?

Passo 2

Qual teste usar e por quê (aulas rápidas e sem medo): como a variância populacional é desconhecida e a amostra é relativamente pequena ( n=20), usamos o teste t de Student para uma média (teste unilateral à direita). Não usamos o teste z porque ele exige conhecer o desvio padrão populacional ou amostras grandes (regra prática).
A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} = média amostral;
  • \mu_0 = valor hipotético sob H_0 (aqui 50);
  • s = desvio padrão amostral;
  • n = tamanho da amostra;
  • s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (medida de quanto \bar{x} varia entre amostras).
O número de graus de liberdade é df=n-1=19. Para um teste unilateral à direita com nível \alpha=0,05 vamos comparar t com o valor crítico t_{0,95,\,19}.

Passo 3

Calculemos o erro padrão s/\sqrt{n} passo a passo:
\sqrt{n}=\sqrt{20}\approx4,4721.
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{5,1}{4,4721}\approx1,140.
Expliquei: isso significa que, se repetíssemos o experimento muitas vezes, a média amostral típica varia cerca de 1,14 MPa em torno da média verdadeira.

Passo 4

Agora calculamos a estatística t:
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{53,2-50}{1,140}=\frac{3,2}{1,140}\approx2,807.
Arredondando para duas casas decimais, t\approx2,81.

Passo 5

Determinamos o valor crítico do t para teste unilateral à direita:
graus de liberdade df=19, nível \alpha=0,05 (unilateral) → valor crítico
t_{crit}=t_{0,95,\,19}\approx1,729.
Regra de decisão: rejeitamos H_0 se t>t_{crit}.

Passo 6

Comparemos:
t\approx2,81\quad\text{vs}\quad t_{crit}\approx1,729.
Como 2,81>1,729, a estatística cai na região crítica. Logo rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05.
Interpretação contextual (do jeitinho que você precisa para a prova): existe evidência estatística suficiente, ao nível de significância 5\%, para afirmar que a resistência média da nova liga é maior que 50 MPa — ou seja, os dados suportam a afirmação do fabricante.

Passo 7

Cálculo aproximado do p-valor (para dar mais sentido): o p-valor é
p=P\big(T_{19}>2,807\big).
Consultando tabela t ou calculadora, obtemos aproximadamente p\approx0,0056 (teste unilateral). Como p<0,05, isso confirma a decisão de rejeitar H_0.
Como observação adicional útil para provas: podemos também construir um limite de confiança unilateral inferior de 95\% para \mu:
\bar{x}-t_{0,95,19}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}=53,2-1,729\cdot1,140\approx53,2-1,97\approx51,23\\ \text{MPa}.
Isso diz que, com 95\% de confiança unilateral, \mu>51,23 MPa, o que está acima de 50 MPa e reforça a conclusão.

Resposta

Rejeita-se H_0. Estatística t\approx2,81 com df=19; p (unilateral) \approx0,0056. Conclusão: há evidência significativa a \alpha=0,05 de que \mu>50 MPa.

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