Um fabricante afirma que uma nova liga metálica aumentou a resistência média de 50 MPa . Teste essa afirmação substituindo por hipótese nula
e hipótese alternativa
. Uma amostra de
peças apresentou
e
. Use
.
Passo 1
O enunciado pede que testemos a afirmação do fabricante de que a nova liga aumentou a resistência média em relação a
MPa. Formalmente temos:
Dados fornecidos:
A pergunta é: com esses dados, há evidência estatística suficiente (ao nível
) para aceitar a hipótese alternativa
(ou seja, rejeitar
)?
Passo 2
Qual teste usar e por quê (aulas rápidas e sem medo): como a variância populacional é desconhecida e a amostra é relativamente pequena (
), usamos o teste t de Student para uma média (teste unilateral à direita). Não usamos o teste z porque ele exige conhecer o desvio padrão populacional ou amostras grandes (regra prática).
A estatística de teste é
onde:
-
= média amostral; -
= valor hipotético sob (aqui ); -
= desvio padrão amostral; -
= tamanho da amostra; -
é o erro padrão da média (medida de quanto varia entre amostras).
O número de graus de liberdade é
. Para um teste unilateral à direita com nível
vamos comparar
com o valor crítico
.
Passo 3
Calculemos o erro padrão
passo a passo:
Expliquei: isso significa que, se repetíssemos o experimento muitas vezes, a média amostral típica varia cerca de
MPa em torno da média verdadeira.
Passo 4
Agora calculamos a estatística
:
Arredondando para duas casas decimais,
.
Passo 5
Determinamos o valor crítico do t para teste unilateral à direita:
graus de liberdade , nível
(unilateral) → valor crítico
graus de liberdade
Regra de decisão: rejeitamos
se
.
Passo 6
Comparemos:
Como
, a estatística cai na região crítica. Logo rejeitamos
ao nível
.
Interpretação contextual (do jeitinho que você precisa para a prova): existe evidência estatística suficiente, ao nível de significância
, para afirmar que a resistência média da nova liga é maior que
MPa — ou seja, os dados suportam a afirmação do fabricante.
Passo 7
Cálculo aproximado do p-valor (para dar mais sentido): o p-valor é
Consultando tabela t ou calculadora, obtemos aproximadamente
(teste unilateral). Como
, isso confirma a decisão de rejeitar
.
Como observação adicional útil para provas: podemos também construir um limite de confiança unilateral inferior de
para
:
Isso diz que, com
de confiança unilateral,
MPa, o que está acima de
MPa e reforça a conclusão.
Resposta
Rejeita-se
. Estatística
com
;
(unilateral)
. Conclusão: há evidência significativa a
de que
MPa.