Historicamente, 8 \% dos produtos são defeituosos. Após melhorias, espera-se redução nessa proporção. Em uma amostra de n=300 itens, 18 apresentaram defeito. Teste, com \alpha=0,05, se a proporção de defeituosos diminuiu.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma decisão de teste:
  • Proporção histórica (hipótese nula): \;p_0=0,08.
  • Amostra: n=300 itens.
  • Número de defeituosos observados: x=18.
  • Nível de significância: \alpha=0,05.
  • Objetivo: testar se a proporção de defeituosos diminuiu após melhorias. Ou seja, queremos testar se a verdadeira proporção é menor que \;p_0.
Informações relevantes listadas:
  • p_0=0,08.
  • n=300.
  • x=18.
  • \alpha=0,05.
O que é pedido:
  • Realizar o teste estatístico (teste unilateral à esquerda) e concluir, ao nível \alpha=0,05, se há evidência de que a proporção diminuiu.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (por ser “diminuiu”, o teste é unilateral à esquerda):
H_0: p = p_0 = 0,08
H_1: p < 0,08
Aqui p é a proporção verdadeira de produtos defeituosos após as melhorias. Repare que H_1 representa a hipótese que queremos demonstrar (redução).

Passo 3

Verificamos se podemos usar a aproximação normal para a proporção amostral \hat p. A regra prática exige que n p_0 \ge 5 e n(1-p_0)\ge 5.
Calculamos:
n p_0 = 300 \cdot 0,08 = 24 \ge 5
n(1-p_0) = 300 \cdot 0,92 = 276 \ge 5
Como ambas condições são satisfeitas, podemos usar a aproximação normal (teste-z para proporção).

Passo 4

Calculamos a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{18}{300} = 0,06.
Isso significa que na amostra a taxa de defeito foi \;0,06 (6%).

Passo 5

Apresentamos a estatística de teste e explicamos a fórmula.
A estatística de teste (quando se usa H_0: p=p_0) é a padronização da diferença entre \hat p e p_0:
Z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.
Explicação das partes:
  • \hat p é a proporção observada na amostra.
  • p_0 é a proporção sob a hipótese nula (valor de referência).
  • \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro padrão de \hat p sob H_0: ele mede a variabilidade esperada da proporção amostral quando H_0 é verdadeira.
  • Se Z for muito negativo, isso indica que \hat p está bem abaixo de p_0, dando evidência a favor de H_1.

Passo 6

Calculamos numericamente o denominador (erro padrão) e a estatística Z.
Primeiro, o produto p_0(1-p_0):
p_0(1-p_0) = 0,08 \cdot 0,92 = 0,0736.
Dividindo por n:
\frac{p_0(1-p_0)}{n} = \frac{0,0736}{300} = 0,000245333\ldots
Erro padrão:
\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} \approx 0,01566.
Agora a estatística Z:
Z = \frac{0,06 - 0,08}{0,01566} \approx \frac{-0,02}{0,01566} \approx -1,277.

Passo 7

Determinamos a região de rejeição pelo critério clássico (valor crítico). Para um teste unilateral à esquerda com \alpha=0,05, o valor crítico da normal padrão é:
z_{\alpha} = z_{0,05} \approx -1,645.
Regra de decisão: rejeitar H_0 se Z \le z_{\alpha} = -1,645.

Passo 8

Comparamos a estatística calculada com o valor crítico:
Z \approx -1,277 \quad\text{e}\quad z_{\alpha} = -1,645.
Como -1,277 > -1,645, temos Z não está na região de rejeição. Portanto, pelo critério de valor crítico, não rejeitamos H_0.

Passo 9

Calculamos o p-valor para complementar a decisão e dar interpretação numérica. Para um teste unilateral à esquerda, o p-valor é P(Z \le z_{\text{obs}}) com Z padrão normal.
Usando a tabela da normal padrão ou calculadora:
\text{p-valor} = \Phi(-1,277) \approx 0,10.
Interpretação: o p-valor é aproximadamente 0,10, maior que \alpha=0,05, o que confirma que não há evidência estatística suficiente para afirmar que a proporção diminuiu.

Passo 10

Conclusão cuidada e intuitiva (versão amigável): apesar de a amostra mostrar uma proporção menor ( 6\% em vez de 8\%), essa diferença não é grande o suficiente para considerarmos que a melhoria realmente reduziu a taxa de defeitos ao nível de confiança pedido ( \alpha=0,05). Em termos práticos, pode ter sido apenas variação amostral.

Resposta

Falha-se em rejeitar H_0. Não há evidência, ao nível \alpha=0,05, de que a proporção de defeituosos diminuiu ( Z\approx -1,277, p-valor \approx 0,10).

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