Historicamente,
dos produtos são defeituosos. Após melhorias, espera-se redução nessa proporção. Em uma amostra de
itens, 18 apresentaram defeito. Teste, com
, se a proporção de defeituosos diminuiu.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma decisão de teste:
- Proporção histórica (hipótese nula):
. - Amostra:
itens. - Número de defeituosos observados:
. - Nível de significância:
. - Objetivo: testar se a proporção de defeituosos diminuiu após melhorias. Ou seja, queremos testar se a verdadeira proporção é menor que
.
Informações relevantes listadas:
-
. -
. -
. -
.
O que é pedido:
- Realizar o teste estatístico (teste unilateral à esquerda) e concluir, ao nível
, se há evidência de que a proporção diminuiu.
Passo 2
Formulamos as hipóteses do teste (por ser “diminuiu”, o teste é unilateral à esquerda):
Aqui
é a proporção verdadeira de produtos defeituosos após as melhorias. Repare que
representa a hipótese que queremos demonstrar (redução).
Passo 3
Verificamos se podemos usar a aproximação normal para a proporção amostral
. A regra prática exige que
e
.
Calculamos:
Como ambas condições são satisfeitas, podemos usar a aproximação normal (teste-z para proporção).
Passo 4
Calculamos a proporção amostral
:
Isso significa que na amostra a taxa de defeito foi
(6%).
Passo 5
Apresentamos a estatística de teste e explicamos a fórmula.
A estatística de teste (quando se usa
) é a padronização da diferença entre
e
:
Explicação das partes:
-
é a proporção observada na amostra. -
é a proporção sob a hipótese nula (valor de referência). -
é o erro padrão de sob : ele mede a variabilidade esperada da proporção amostral quando é verdadeira. - Se
for muito negativo, isso indica que está bem abaixo de , dando evidência a favor de .
Passo 6
Calculamos numericamente o denominador (erro padrão) e a estatística
.
Primeiro, o produto
:
Dividindo por
:
Erro padrão:
Agora a estatística
:
Passo 7
Determinamos a região de rejeição pelo critério clássico (valor crítico). Para um teste unilateral à esquerda com
, o valor crítico da normal padrão é:
Regra de decisão: rejeitar
se
.
Passo 8
Comparamos a estatística calculada com o valor crítico:
Como
, temos
não está na região de rejeição. Portanto, pelo critério de valor crítico, não rejeitamos
.
Passo 9
Calculamos o p-valor para complementar a decisão e dar interpretação numérica. Para um teste unilateral à esquerda, o p-valor é
com
padrão normal.
Usando a tabela da normal padrão ou calculadora:
Interpretação: o p-valor é aproximadamente
, maior que
, o que confirma que não há evidência estatística suficiente para afirmar que a proporção diminuiu.
Passo 10
Conclusão cuidada e intuitiva (versão amigável): apesar de a amostra mostrar uma proporção menor (
em vez de
), essa diferença não é grande o suficiente para considerarmos que a melhoria realmente reduziu a taxa de defeitos ao nível de confiança pedido (
). Em termos práticos, pode ter sido apenas variação amostral.
Resposta
Falha-se em rejeitar
. Não há evidência, ao nível
, de que a proporção de defeituosos diminuiu (
, p-valor
).