Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4 . Para dois lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória X : número de caras obtidas no experimento. Obtenha:
f) Var(X).

Passo 1

Beleza! Temos uma moeda viciada onde a chance de sair cara é 0,4. Vamos lançar essa moeda duas vezes e estudar a variável aleatória $ X $, que representa o número de caras que aparecem nesses dois lançamentos. O conteúdo que vamos usar aqui é a variância de uma variável aleatória, que nos diz o quanto os valores de $ X $ variam em torno da média. Para calcular a variância, precisamos primeiro encontrar a média de $ X $ e depois a média dos quadrados de $ X $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os possíveis resultados para $ X $:
  • 0 caras
  • 1 cara
  • 2 caras
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses resultados.

Passo 3

A probabilidade de sair 0 caras (ou seja, duas coroas) é:
P(X=0) = P(coroa) times P(coroa) = (1 - 0,4) times (1 - 0,4) = 0,6 times 0,6 = 0,36

Passo 4

A probabilidade de sair 1 cara é a soma das probabilidades de sair cara na primeira e coroa na segunda, ou coroa na primeira e cara na segunda:
P(X=1) = P(cara) times P(coroa) + P(coroa) times P(cara) = 0,4 times 0,6 + 0,6 times 0,4 = 0,24 + 0,24 = 0,48

Passo 5

A probabilidade de sair 2 caras é:
P(X=2) = P(cara) times P(cara) = 0,4 times 0,4 = 0,16

Passo 6

Agora, vamos calcular a média de $ X $, que é:
X

Passo 7

Em seguida, vamos calcular a média dos quadrados de $ X $, ou seja, $ E(X^2) $:
X

Passo 8

Agora, a variância de $ X $ é dada por:
X

Resposta

A variância de $ X $ é $ \operatorname{Var}(X) = 0,48 $.

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