Um mol de um certo gás sofre uma elevação de temperatura de 50 K em dois processos diferentes, à pressão constante e por compressão adiabática. Se o calor específico molar é
. Determine o trabalho realizado pelo gás e
em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o trabalho realizado pelo gás ($ W
\Delta U $) em dois processos diferentes: à pressão constante e por compressão adiabática. Estamos lidando com conceitos de termodinâmica, especificamente a primeira lei da termodinâmica e as capacidades caloríficas. Vamos precisar usar essas ideias para chegar nas respostas finais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica, que é basicamente uma versão da conservação de energia para sistemas termodinâmicos. Ela é expressa pela fórmula:
Onde:
- $ \Delta U $ é a variação da energia interna do sistema.
- $ Q $ é o calor trocado com o ambiente.
- $ W $ é o trabalho realizado pelo sistema.
Importante: Aqui, consideramos $ W $ como o trabalho realizado pelo gás (trabalho de saída).
Passo 3
Sabemos que a variação da energia interna ($ \Delta U
C_V $). A fórmula é:
Onde:
- $ n $ é o número de mols.
- $ C_V $ é a capacidade calorífica a volume constante.
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Vamos calcular $ \Delta U $:
Então, $ \Delta U = 300 , cal $ para ambos os processos, já que a variação de temperatura é a mesma.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada processo separadamente.
Processo 1: Pressão Constante
Nesse caso, usamos a capacidade calorífica a pressão constante ($ C_P $). A relação entre $ C_P $ e $ C_V $ para um gás ideal é:
Onde $ R $ é a constante dos gases. Para nossos cálculos, usamos $ R = 2 , \frac{cal}{mol \cdot K} $.
Assim,
O calor fornecido no processo a pressão constante é:
Passo 5
Agora, aplicamos a primeira lei da termodinâmica para o processo a pressão constante:
Já sabemos que $ \Delta U = 300 , cal $ e $ Q = 400 , cal $, então:
Resolvendo para $ W $:
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o gás. Porém, como o enunciado pede o trabalho realizado pelo gás, consideramos $ W = 100 , cal $ (valor positivo).
Passo 6
Processo 2: Compressão Adiabática
Em uma compressão adiabática, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, $ Q = 0 $.
Aplicando a primeira lei da termodinâmica:
Como $ Q = 0 $:
Já calculamos que $ \Delta U = 300 , cal $, então:
Resposta
-
À pressão constante:
- Trabalho realizado pelo gás ($ W $): $ 100 , cal $
- Variação da energia interna ($ \Delta U $): $ 300 , cal $
-
Compressão adiabática:
- Trabalho realizado pelo gás ($ W $): $ 300 , cal $
- Variação da energia interna ($ \Delta U $): $ 300 , cal $