Um mol de um gás diatômico ideal \left(c_{v}=\frac{5}{2} R\right), contido num recipiente munido de um pistão móvel, inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C}(293,15 \mathrm{~K}) (estado 1) se expande isotermicamente até que seu volume aumente de 50 \% (estado 2). A seguir, é contraído, mantendo a pressão constante, até voltar ao volume inicial (estado 3). Finalmente, é aquecido a volume constante até voltar à temperatura inicial.
(a) Desenhe o diagrama pressão \times volume indicando em quais etapas existe troca de calor com os reservatórios.
(b) Calcule Q, W, \Delta U para cada etapa, e para o ciclo, e coloque os resultados em uma tabela similar à abaixo, usando o sistema de unidades SI.
Etapa Q(\mathrm{~J}) W(\mathrm{~J}) \Delta U(\mathrm{~J})
1 \rightarrow 2
2 \rightarrow 3
3 \rightarrow 1
Ciclo
(c) Calcule a eficiência do ciclo e a eficiência máxima possivel para uma máquina térmica, operando nas mesmas temperaturas.
Algumas expressões úteis (nem todas as fórmulas necessárias são fornecidas e não necessariamente todas as fórmulas fornecidas são necessárias):
R=0,08206(\mathrm{~atm} \cdot \mathrm{~L}) /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})=8,314 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}), 1 \mathrm{~atm}=101,3 \mathrm{kPa}, 1 \mathrm{~m}^{3}=1000 \mathrm{~L}, 1 \mathrm{cal}=4,184 \mathrm{~J}
T(\mathrm{~K})=T\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+273.15 ; \quad T\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right)=\frac{9}{5} T\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+32 ; \quad T(\mathrm{R})=T\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right)+459.67
\dot{Q}=k A \frac{T_{H}-T_{Q}}{L} ; R=L /(k A); série: R_{\mathrm{eq}}=R_{1}+R_{2}; paralelo: \frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}
d W=P d V, đ Q=T d S, d U=n c_{V} d T, c_{P}=c_{V}+Rđ (gás ideal),
\eta \equiv W / Q_{H}, \eta_{\text {carnot }}=1-\frac{T_{C}}{T_{H}}
Processo adiabático para gás ideal: P V^{\gamma}=\mathrm{const}, T V^{\gamma-1}=\mathrm{const}, T^{\gamma} P^{1-\gamma}=\mathrm{const}
Pontuação: (1a): 1.0; (1b): 1.0; (1c): 2.0; (2a): 1.0; (2b): 3.0; (2c): 2.0;

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de um mol de gás diatômico ideal c_{V}=\tfrac{5}{2}R,\;c_{P}=\tfrac{7}{2}R, passando por três processos:
1\to 2: expansão isotérmica a T_{1}=293{,}15\rm \,K até V_{2}=1{,}5V_{1}.
2\to 3: compressão isobárica a P_{2}=P_{1}/1{,}5 até V_{3}=V_{1}.
3\to 1: aquecimento isocórico de T_{3} de volta a T_{1}.
Conteúdos necessários: equações do gás ideal, trabalho em cada processo W=\int P\,dV, variação de energia interna \Delta U=n\,c_{V}\,\Delta T e calor Q=\Delta U+W. Também desenharemos qualitativamente o diagrama P\times V e indicaremos onde há troca de calor com reservatórios.

Passo 2

Processo 1\to 2 (isotérmico a T_{1}):
– Como \Delta U=0 para gás ideal isotérmico.
– Trabalho realizado pelo gás
W_{12} =\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =nRT_{1}\int_{V_{1}}^{1{,}5V_{1}}\frac{dV}{V} =nR T_{1}\ln\bigl(1{,}5\bigr).
Numericamente,
W_{12} =1\cdot8{,}314\cdot293{,}15\cdot\ln(1{,}5)\approx989\rm \,J.
– Como \Delta U=0, Q_{12}=W_{12}\approx989\rm \,J.
No diagrama P\times V, este é o ramo isotérmico convexo de 1 a 2. Há troca de calor Q_{12}>0 com o reservatório quente a T_{1}.

Passo 3

Processo 2\to 3 (isobárico a P_{2}=P_{1}/1{,}5):
– As temperaturas nos estados:
T_{2}=T_{1},\qquad T_{3}=\frac{P_{2}V_{3}}{nR} =\frac{P_{1}/1{,}5\cdot V_{1}}{R} =\frac{T_{1}}{1{,}5}\approx195{,}43\rm\,K.
– Variação de temperatura \Delta T_{23}=T_{3}-T_{2}=-97{,}72\rm\,K.
– Trabalho pelo gás
W_{23}=P_{2}(V_{3}-V_{2}) =nR\Delta T_{23} =8{,}314\cdot(-97{,}72)\approx-812\rm\,J.
– Variação de energia interna
\Delta U_{23} =n\,c_{V}\,\Delta T_{23} =\frac{5}{2}R\,(T_{3}-T_{2}) =2{,}5\cdot8{,}314\cdot(-97{,}72)\approx-2031\rm\,J.
– Calor trocado
Q_{23}=\Delta U_{23}+W_{23}\approx -2031+(-812)=-2843\rm\,J.
No diagrama, é a linha horizontal de 2 a 3. Aqui o gás rejeita calor ao reservatório frio: Q_{23}<0.

Passo 4

Processo 3\to 1 (isocórico a V_{1}):
– Trabalho W_{31}=0.
– Variação de temperatura \Delta T_{31}=T_{1}-T_{3}=+97{,}72\rm\,K.
– Variação de energia interna
\Delta U_{31} =n\,c_{V}\,\Delta T_{31} =2{,}5\cdot8{,}314\cdot97{,}72 \approx+2031\rm\,J.
– Calor trocado
Q_{31}=\Delta U_{31}+0\approx+2031\rm\,J.
No diagrama, é a linha vertical de 3 a 1. Há entrada de calor Q_{31}>0, também ao reservatório quente a T_{1}.

Passo 5

Somando os três trechos, temos para o ciclo completo:
Q_{\rm ciclo} =Q_{12}+Q_{23}+Q_{31} =989+(-2843)+2031\approx+177\rm\,J,
W_{\rm ciclo} =W_{12}+W_{23}+W_{31} =989+(-812)+0\approx+177\rm\,J,
\Delta U_{\rm ciclo}=0.

Passo 6

Eficiência do ciclo:
– Calor recebido de reservatórios quentes: Q_{h}=Q_{12}+Q_{31}=989+2031=3020\rm\,J.
\eta =\frac{W_{\rm ciclo}}{Q_{h}} \approx\frac{177}{3020}\approx0{,}0586\quad(5{,}86\%\!).
Eficiência máxima de Carnot entre T_{H}=293{,}15\rm\,K e T_{C}=195{,}43\rm\,K:
\eta_{\rm Carnot} =1-\frac{T_{C}}{T_{H}} =1-\frac{195{,}43}{293{,}15} \approx0{,}3333\quad(33{,}33\%\!).

Resposta

(a) Diagrama P\times V:
  • 1\to 2: curva isotérmica decrescente (calor Q_{12}>0 do reservatório quente).
  • 2\to 3: linha horizontal de compressão isobárica (calor Q_{23}<0 para o reservatório frio).
  • 3\to 1: linha vertical de aquecimento isocórico (calor Q_{31}>0 do reservatório quente).
(b) Tabela de valores:
\begin{array}{|l|r|r|r|} \hline \text{Etapa} & Q\,(J) & W\,(J) & \Delta U\,(J)\\\ \hline 1\to2 & +989 & +989 & 0\\\\ 2\to3 & -2843 & -812 & -2031\\\\ 3\to1 & +2031 & 0 & +2031\\\ \hline \text{Ciclo} & +177 & +177 & 0\\\ \hline \end{array}
(c) Eficiência real \eta\approx5{,}86\%.
Eficiência de Carnot \eta_{\rm Carnot}\approx33{,}33\%.

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