2^{\mathrm{a}}. Questão (4 pts): Considere um fio condutor de comprimento L ao longo de eixo z e densidade linear de carga homogênea e igual a \rho_{l}.
(a) Aplique a lei de Gauss e derive uma expressão para o campo elétrico no ponto de coordenadas P(0, y, 0), onde |y| \ll L.
(b) Derive uma expressão para a diferença de potencial eletrostático entre os pontos y=a e y=b, onde b>a.
(c) Determine o valor do campo elétrico se \rho_{l}=1 \times 10^{-9} \mathrm{C} / \mathrm{m}, a=10 \mathrm{~cm}.
(d) Determine o valor da diferença de potencial entre os pontos y=a e y=b, se \rho_{t}=1 \times 10^{-9} \mathrm{C} / \mathrm{m}, a=10 \mathrm{~cm} e b=50 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado descreve um fio retilíneo de comprimento L ao longo do eixo z com densidade linear de carga homogênea \rho_{l}$ e pede: (a) o campo elétrico no ponto \(P(0,y,0) supondo \lvert y\rvert\ll L;
(b) a diferença de potencial entre y=a e y=b;
(c) o valor numérico de E em y=a=0{,}10\rm\\ m para \rho_{l}=1\times10^{-9}\rm\\ C/m;
(d) a diferença de potencial numérica entre a=0{,}10\rm\\ m e b=0{,}50\rm\\ m para o mesmo \rho_{l}.
Conteúdo: aplicação da Lei de Gauss para fio longo (aproximação de fio infinito) e definição de potencial eletrostático.)

Passo 2

Para \lvert y\rvert\ll L o fio comporta-se como “infinito”. Escolhemos superfície cilíndrica de raio \lvert y\rvert e comprimento h coaxial ao fio. Pela Lei de Gauss:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E\,(2\pi\lvert y\rvert\,h)
e a carga interna é
Q_{\rm int} = \rho_{l}\,h.
Como \Phi = Q_{\rm int}/\epsilon_{0}, obtemos
E\,(2\pi\lvert y\rvert\,h) = \frac{\rho_{l}\,h}{\epsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}\,\lvert y\rvert}.
O campo aponta radialmente, ou seja,
\mathbf{E}(0,y,0) = \frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}\,y}\,\hat{\jmath}.

Passo 3

A diferença de potencial eletrostático entre y=a e y=b vem de
\Delta V = V(b)-V(a) = -\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\int_{a}^{b}\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}\,y}\,dy = -\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\bigl[\ln y\bigr]_{a}^{b} = -\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\frac{b}{a}.
Se quisermos V(a)-V(b), basta trocar o sinal:
V(a)-V(b) = \frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\frac{b}{a}.

Passo 4

Para \rho_{l}=1\times10^{-9}\rm\\ C/m e a=0{,}10\rm\\ m:
E(a) = \frac{1\times10^{-9}}{2\pi (8{,}85\times10^{-12})(0{,}10)} \approx \frac{10^{-9}}{5{,}565\times10^{-12}} \approx 1{,}8\times10^{2}\\ \rm V/m.

Passo 5

Para a=0{,}10\rm\\ m, b=0{,}50\rm\\ m e \rho_{l}=1\times10^{-9}\rm\\ C/m:
V(a)-V(b) = \frac{1\times10^{-9}}{2\pi(8{,}85\times10^{-12})}\ln\frac{0{,}50}{0{,}10} \approx \frac{10^{-9}}{5{,}565\times10^{-11}}\ln5 \approx 18{,}0\;\ln5 \approx 28{,}9\\ \rm V.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(0,y,0)=\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}\,y}\,\hat{\jmath}.
(b) \displaystyle V(a)-V(b)=\frac{\rho_{l}}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\frac{b}{a}.
(c) E(0,0{,}10,0)\approx1{,}8\times10^{2}\rm\\ V/m.
(d) V(0{,}10\,\mathrm m)-V(0{,}50\,\mathrm m)\approx28{,}9\rm\\ V.

Exercícios relacionados