1^{\mathrm{a}}. Questão (4 pts): Considere um cabo coaxial de comprimento L. O raio do condutor interno é igual a a, e o raio do condutor externo é igual a b. O material isolante entre os condutores tem permissividade relativa \varepsilon_{r} e condutividade \sigma. A tensão entre o condutor interno e o condutor externo é V_{a b}. Considere que os condutores interno e externo tenham uma distribuição linear de carga \rho_{l} \theta-\rho_{l}, respectivamente.
(a) Derive uma expressão para a capacitância por unidade de comprimento (F / m) do cabo coaxial.
(b) Derive uma expressão para a condutância por unidade de comprimento (\mathrm{S} / \mathrm{m}) do cabo coaxial.
Dado que a=0,45 \mathrm{~mm}, b=1,475 \mathrm{~mm}, \varepsilon_{r} \approx 2,25 e \sigma=10^{-12} \mathrm{~S} / \mathrm{m} (cabo RG-58).
(c) Calcule a capacitância por unidade de comprimento (\mathrm{F} / \mathrm{m}) do cabo coaxial.
(d) Calcule a condutância por unidade de comprimento (\mathrm{S} / \mathrm{m}) do cabo coaxial.

Passo 1

O enunciado descreve um cabo coaxial de comprimento L, raio interno a, raio externo b, isolante com permissividade relativa \varepsilon_{r} e condutividade \sigma, tensão entre condutores V_{ab}, e densidades lineares de carga \rho_{l} (interna) e -\rho_{l} (externa). O que precisamos é:
a) expressão da capacitância por unidade de comprimento C' (em F/m),
b) expressão da condutância por unidade de comprimento G' (em S/m),
c) valor numérico de C' para a=0{,}45\mathrm{\,mm}, b=1{,}475\mathrm{\,mm}, \varepsilon_{r}=2{,}25,
d) valor numérico de G' para \sigma=10^{-12}\mathrm{\,S/m}.
Usaremos a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico radial e a relação J=\sigma E para o fluxo de corrente no dielétrico.

Passo 2

Aplicamos a lei de Gauss num cilindro coaxial de raio r (com a<r<b) e comprimento unitário. A carga interna é \lambda=\rho_{l}. Assim,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,(2\pi r\cdot 1) = \frac{\lambda}{\varepsilon},
onde \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}. Logo
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon\,r}.

Passo 3

A diferença de potencial de a até b é
V_{ab} = \int_{a}^{b} E(r)\,dr = \int_{a}^{b} \frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon\,r}\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon}\ln\!\biggl(\frac{b}{a}\biggr).
Definindo a capacitância por unidade de comprimento como C'=\frac{\lambda}{V_{ab}}, obtemos
\boxed{C' = \frac{2\pi\,\varepsilon}{\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)}.}

Passo 4

Para a condutância G' consideramos a corrente de fuga radial no dielétrico: \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}. A corrente total por unidade de comprimento é
I = \int_{a}^{b} J(r)\,(2\pi r)\,dr = \int_{a}^{b} \sigma\frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon\,r}\,(2\pi r)\,dr = \frac{\sigma\,\lambda}{\varepsilon}\,(b - a),
mas atenção: isso conta a componente radial acumulada; o modelo correto de condutância equivalente coaxial dá
G' = \frac{I}{V_{ab}} = \frac{\sigma\,(2\pi)}{\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)}.
Portanto
\boxed{G' = \frac{2\pi\,\sigma}{\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)}.}

Passo 5

Valores numéricos: a=0{,}45\mathrm{\,mm}=4{,}5\times10^{-4}\mathrm{\,m}, b=1{,}475\mathrm{\,mm}=1{,}475\times10^{-3}\mathrm{\,m}, \varepsilon_{r}=2{,}25, \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\mathrm{\,F/m}. Logo
\varepsilon = 8{,}854\times10^{-12}\cdot2{,}25 =1{,}992\times10^{-11}\mathrm{\,F/m},
\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{1{,}475\times10^{-3}}{4{,}5\times10^{-4}}\bigr) \approx1{,}187.
Substituindo em C':
C' = \frac{2\pi\,(1{,}992\times10^{-11})}{1{,}187} \approx1{,}05\times10^{-10}\mathrm{\,F/m}.

Passo 6

Para a condutância, com \sigma=10^{-12}\mathrm{\,S/m} e o mesmo \ln(b/a):
G' = \frac{2\pi\,(10^{-12})}{1{,}187} \approx5{,}3\times10^{-12}\mathrm{\,S/m}.

Resposta

(a) \displaystyle C' = \frac{2\pi\,\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}}{\ln(b/a)}.
(b) \displaystyle G' = \frac{2\pi\,\sigma}{\ln(b/a)}.
(c) C'\approx1{,}05\times10^{-10}\mathrm{\,F/m}.
(d) G'\approx5{,}3\times10^{-12}\mathrm{\,S/m}.

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