Um mol de um gás hipotético a 300 K expande-se isotérmica e reversivelmente de 10 \mathrm{dm}^{3} para 50 \mathrm{dm}^{3}. A função de estado para este gás hipotético é dada por:
p=\frac{R T}{\bar{V}}-\frac{\alpha}{\bar{V}^{2}}
Sabendo que \alpha=0,6 \mathrm{~Pa} \mathrm{~m}^{6} \mathrm{~mol}^{-2}, calcule a variação de energia interna ( \Delta \mathbf{U} ) para esta transformação.

Passo 1

O enunciado dá um mol de um gás hipotético à temperatura constante de 300,K, que se expande isotermicamente e reversivelmente de 10,dm ^3 para 50,dm ^3. A equação de estado é
p = \frac{R\,T}{\bar V} \;-\;\frac{\alpha}{\bar V^2}
com \alpha=0,6,P a\cdot m ^6·mol ^{-2}. Precisamos calcular a variação de energia interna \Delta U dessa transformação usando a relação termodinâmica para gases reais.

Passo 2

Para um gás real vale a diferencial de energia interna
dU = C_V\,dT \;+\;\bigl[T\bigl(\partial p/\partial T\bigr)_V - p\bigr]\,dV.
Aqui C_V\,dT é o termo devido à variação de temperatura, e o segundo termo leva em conta a dependência de U com o volume.

Passo 3

Como o processo é isotérmico, temos dT=0. Logo
\Delta U = \int_{V_1}^{V_2} \bigl[T\bigl(\partial p/\partial T\bigr)_V - p\bigr]\,dV.

Passo 4

Da equação de estado extrai-se
\bigl(\partial p/\partial T\bigr)_V \;=\;\frac{R}{V}
(para n=1 mol, \bar V=V). Substituindo em T(\partial p/\partial T)_V - p obtemos
T\frac{R}{V} \;-\;\Bigl(\frac{R\,T}{V}-\frac{\alpha}{V^2}\Bigr) \;=\;\frac{\alpha}{V^2}.

Passo 5

Portanto
\Delta U \;=\;\int_{V_1}^{V_2}\frac{\alpha}{V^2}\,dV \;=\;-\alpha\Bigl[\frac{1}{V}\Bigr]_{V_1}^{V_2} \;=\;\alpha\Bigl(\frac{1}{V_1}-\frac{1}{V_2}\Bigr).

Passo 6

Convertemos volumes para metros cúbicos:
V_1 = 10\text{ dm}^3 = 10\times10^{-3}\text{ m}^3 = 1{,}0\times10^{-2}\text{ m}^3, \quad V_2 = 50\text{ dm}^3 = 5{,}0\times10^{-2}\text{ m}^3.
Logo
\Delta U = 0{,}6\;\bigl(\tfrac{1}{1{,}0\times10^{-2}}-\tfrac{1}{5{,}0\times10^{-2}}\bigr) =0{,}6\times(100 - 20) =48\text{ J}.

Resposta

\displaystyle \Delta U = 48\text{ J}

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