A reação de decomposição de um reagente hipotético A é de primeira ordem e ocorre segundo a reação 3 \mathrm{~A} \rightarrow \mathrm{~B}+\mathrm{C}. Sabendo que a constante de velocidade da reação é 1 \times 10^{-3} \mathrm{~s}^{-1} e a concentração inicial de A é 0,5 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}, calcule:
a) o tempo de meia-vida para a decomposição de A;
b) calcule a fração de A após 20 minutos de reação;
c) o tempo para a concentração do reagente A variar de 0,05 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} para 0,01 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}.

Passo 1

O enunciado descreve uma reação de decomposição de primeira ordem para o reagente A segundo
3A \;\longrightarrow\; B + C
com constante de velocidade k = 1\times10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} e concentração inicial [A]_0 = 0{,}5\,\mathrm{mol\,L^{-1}}.
Para reações de primeira ordem usamos a lei integrada
\ln\frac{[A]}{[A]_0} = -\,k\,t
e a meia‐vida
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.

Passo 2

Calculamos a meia‐vida usando
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{1\times10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}} \approx 693{,}1\,\mathrm{s} \approx 11{,}55\,\mathrm{min}.

Passo 3

Para a fração de A após 20 minutos t=20\,\mathrm{min}=1200\,\mathrm{s},
\frac{[A]}{[A]_0} = \exp(-k\,t) = \exp\bigl(-1\times10^{-3}\times1200\bigr) = \exp(-1{,}2) \approx 0{,}301.

Passo 4

Para determinar o tempo em que [A] varia de 0{,}05 a 0{,}01\,\mathrm{mol\,L^{-1}}, reescrevemos
\ln\frac{[A]_2}{[A]_1} = -\,k\,t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{k}\ln\frac{[A]_1}{[A]_2} = \frac{1}{1\times10^{-3}}\ln\frac{0{,}05}{0{,}01} = 1000\,\mathrm{s}\,\ln 5 \approx 1609\,\mathrm{s} \approx 26{,}82\,\mathrm{min}.

Resposta

a) t_{1/2} = 693{,}1\,\mathrm{s}\approx 11{,}55\,\mathrm{min}.
b) fração de A após 20 min = 0{,}301.
c) t \approx 1609\,\mathrm{s}\approx 26{,}82\,\mathrm{min}.

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