Um mol de um gás ideal com C. 1,5R, está no estado inicial de 300 K e 1 atm . Para cada transformação a seguir, calcule q, w, dU, dH, dS e dG.
O gás expande-se adiabaticamente contra uma pressão constante de 0,5 atm até que a pressão final do gás seja de
.
O gás expande-se adiabaticamente contra uma pressão constante de 0,5 atm até que a pressão final do gás seja de
Passo 1
O enunciado dá um mol de gás ideal com
no estado inicial:
-
. -
. -
.
A transformação é: o gás expande-se adiabaticamente contra uma pressão externa constante
até que a pressão final do gás seja
. O enunciado pede os valores de
para essa transformação.
Informações e convenções que vamos usar (pegas do enunciado ou padrão):
- Processo adiabático implica
. - Primeira lei:
. - Convenção de trabalho:
é o trabalho feito sobre o sistema, portanto para uma expansão contra pressão constante
- Para gás ideal:
com
.
- Lei dos gases ideais:
- Constantes e unidades (vamos trabalhar em SI para energia):
. Conversão de pressão: .
A resolução numérica começa agora.
Passo 2
Vamos encontrar
e os volumes
e
. Primeiro expressar
por gás ideal:
Usando
,
,
,
:
Passo 3
Calcular numericamente
:
(para lembrar:
).
Passo 4
Agora deduzimos
usando que o processo é adiabático (
) e a primeira lei
. Assim
Escrevendo
e
e usando
com
, obtemos:
Simplificando o lado direito:
Rearranjando termos com
:
Reconhecendo
, temos a fórmula fechada
Passo 5
Calcular constantes numéricas:
. Então
.
Calcular em joules (pois
em Pa e
em m^3 dá J):
Calcular
Calcular
:
Substituindo na expressão para
:
Passo 6
Com
encontrado, calculamos
pela lei dos gases:
Verificação rápida:
, e
— consistente.
Passo 7
Agora calculamos as quantidades pedidas uma a uma.
q: como o processo é adiabático,
Passo 8
w: usar
. Já temos
,
e
:
(Sinal negativo: trabalho realizado pelo gás.)
Também por conservação de energia, como
, tem-se
— vamos confirmar no próximo passo.
Passo 9
Concorda com
e com
(pois
).
Passo 10
Passo 11
Como
e
, e
, temos
Calcular numericamente:
Arredondando:
(positivo — o sistema ganhou entropia pela expansão irreversível).
Passo 12
(Substitui as integrais explicitamente para caminho conveniente; derivação baseada em
e nas integrais com
constante.)
Substituir valores:
,
,
,
,
,
. Calcular passo a passo:
Termo A:
(igual a
).
Termo B:
.
Como , temos Termo B
.
Como
Termo C:
.
Como , Termo C
.
Como
Somando:
Passo 13
Breve verificação física e comentário de ânimo:
-
(adiabático) e trabalho negativo (expansão) resultaram em e queda de temperatura de para . - A entropia do sistema aumentou (
) porque a expansão foi irreversível (adiabática mas contra uma pressão menor que a pressão inicial). - A energia livre diminuiu bastante (
), compatível com processo espontâneo irreversível nas condições dadas.
Bom trabalho — essa sequência de passos (usar 1ª lei para achar, depois calcular cada grandeza pela sua fórmula) é um método que dá certo na prova e é rápido quando se domina.