1- Um mol de gás ideal é comprimido isotermicamente a 300 K de um volume inicial de 6 L para um volume final de 2 L .
Use \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}
a) Calcule o trabalho realizado.
b) Determine o calor trocado com o meio.
c) Indique se o sistema ganha ou perde energia térmica.

Passo 1

O enunciado dá um mol de gás ideal comprimido isotermicamente a 300\\ \mathrm{K} de volume inicial 6\\ \mathrm{L} para volume final 2\\ \mathrm{L}. Pede três coisas:
  1. (a) Calcular o trabalho realizado.
  2. (b) Determinar o calor trocado com o meio.
  3. (c) Dizer se o sistema ganha ou perde energia térmica.
Dados relevantes fornecidos:
n=1\\ \mathrm{mol},\qquad T=300\\ \mathrm{K},\qquad V_i=6\\ \mathrm{L},\qquad V_f=2\\ \mathrm{L},\qquad R=8,314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.
Observação importante: os volumes aparecem apenas na razão V_f/V_i na fórmula do trabalho isoterma, então podemos usar litros diretamente porque a razão é adimensional (as unidades se cancelam).

Passo 2

Explico a convenção de sinais e a fórmula que vamos usar (super importante para a prova):
  • Definimos W como o trabalho realizado pelo sistema (pelo gás). Com essa convenção, se o gás é comprimido, ele realiza trabalho negativo (porque o trabalho é feito sobre ele).
  • A expressão geral do trabalho quasi-estático é
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
  • Para um gás ideal em processo isotérmico, a pressão obedece a lei dos gases ideais:
P=\frac{nRT}{V}.
Substituindo na integral, obtemos a fórmula padrão do trabalho isoterma reversível:

Passo 3

Derivação do trabalho isoterma (mostro passo a passo a integral):
W=\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV.
Como n, R e T são constantes na isotermia, saem da integral:
W=nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV.
A integral de 1/V é o logaritmo natural, então
W=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Lembre-se: essa W é o trabalho realizado pelo gás (convenção que estamos usando).

Passo 4

Aplicamos a fórmula com os números dados. Primeiro calcule a razão e seu logaritmo:
\frac{V_f}{V_i}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\qquad \ln\!\left(\frac{1}{3}\right)=-\ln 3\approx -1,098612.
Agora calcule nRT:
nRT=1\times 8,314\times 300=2494,2\\ \mathrm{J}.
Multiplicando:
W=2494,2\times(-1,098612)\approx -2740\\ \mathrm{J}.
Interpretação: W\approx -2{,}74\times10^{3}\\ \mathrm{J}. O sinal negativo indica que o trabalho é feito sobre o gás (ou seja, o gás não realiza trabalho; a vizinhança fez trabalho sobre ele).

Passo 5

Agora o calor trocado. Uso a primeira lei da termodinâmica e propriedades do gás ideal:
  • Primeira lei (com a mesma convenção de W = trabalho realizado pelo sistema):
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna do sistema e Q é o calor recebido pelo sistema.
  • Para um gás ideal monoatômico ou poliatômico, a energia interna depende apenas da temperatura. Em processo isotérmico temos T constante, logo
\Delta U=0.
Substituindo na primeira lei:
0=Q-W \quad\Rightarrow\quad Q=W.

Passo 6

Conclusão sobre o calor trocado e sinal:
Já calculamos W\approx -2740\\ \mathrm{J}. Como Q=W, segue que
Q\approx -2740\\ \mathrm{J}.
O sinal negativo de Q significa que o sistema entregou calor ao meio (perdeu calor). Em outras palavras, durante a compressão isotérmica, a energia fornecida ao gás pelo trabalho realizado sobre ele é removida na forma de calor para manter a temperatura constante.

Passo 7

Resumo físico e incentivo rápido:
  • O gás foi comprimido; trabalho foi feito sobre ele (por isso W pelo gás é negativo).
  • Como a energia interna não mudou ( \Delta U=0), todo o trabalho feito sobre o gás foi cedido como calor para o meio.
    Você conseguiu! Mesmo desesperado, esse tipo de conta é direto se lembrar: isoterma → W=nRT\ln(V_f/V_i) e \Delta U=0 Q=W.

Resposta

(a) W\approx -2{,}74\times10^{3}\\ \mathrm{J} (trabalho realizado pelo gás; negativo porque o gás é comprimido).
(b) Q\approx -2{,}74\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
(c) O sistema perde energia térmica (ou seja, libera calor para o meio).

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